【新高考复习】专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教

专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示1．（2021·全国高一课时练习）已知向量1,2a，3,1b，,2cm，(2)cab，则m的值为（）A．2B．3C．2D．10【答案】C【解析】先求出2ab的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.【详解】因1,2a，3,1b，则25,5ab，而,2cm，(2)cab，于是得(2)0cab，即5520m，解得2m，所以m的值为2.故选：C2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知24,4,3abab，，记a与b夹角为，则cos的值为（）A．1320B．516C．34D．57【答案】B【解析】利用平面向量数量积的定义以及模长公式求解即可.【详解】因为4,3ab，所以5ab，因为222()2ababaabb，所以2541616cos，所以5cos16．故选:B.练基础3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，F是线段AE上的点，则AFCF的最小值为（）A．95B．95C．1D．1【答案】B【解析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，0,0A，2,1E，2,2C，由F是线段AE上的点，设,2xFx，且02x，因此,2xAFx，2,22xCFx，故25223224xxxAFxxxCF，因02x，所以当65x时，AFCF取最小值95.故选：B.4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且3BFFE，记aBA，bBC，则CF（）A．2133abB．2133abC．1348abD．3548ab【答案】D【解析】取aBA，bBC作为基底，把BE、BF用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出CF.【详解】取aBA，bBC作为基底，则12BEab.因为3BFFE，所以3313344248BFBEabab，所以33354848CFBFBCabbab.故选：D.5.（2021·全国高一专题练习）已知ABP，，三点共线，O为直线外任意一点，若OPxOAyOB，则xy________.【答案】1【解析】由共线可设ABBP，进而得OBOAOPOB，化简对应的,xy即可得解.【详解】∵,,ABP三点共线，∴存在非零实数，使得ABBP，∴OBOAOPOB∴11OPOBOA∵OPxOAyOB，∴111xy.故答案为：16．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边//ABDC，//ADBC，已知点20A，，68B，，8,6C则D点的坐标为___________.【答案】0,2【解析】平行四边形ABCD中，OBODOAOC，∴2,08,66,80,2ODOAOCOB，即D点坐标为0,2，故答案为0,2.7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量1,1a，向量3,2b.（1）求向量2ab的坐标；（2）当k为何值时，向量kab与向量2ab垂直.【答案】（1）7,3；（2）274k.【解析】（1）进行向量坐标的减法和数乘运算即可得出2(7,3)ab；（2）可求出(3,2)kabkk，然后根据kab与2ab垂直即可得出7(3)3(2)0kk，解出k即可．【详解】（1）∵1,1a，3,2b，∴27,3abrr.（2）∵3,2kabkkrr，且kab与2ab垂直，∴73320kk，解得274k.8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知||4a，(1,3)b（1）若//ab，求a的坐标；（2）若a与b的夹角为120°，求abrr.【答案】（1）2,23或2,23；（2）27.【解析】（1）先求与向量b共线的单位向量，结合//ab，即可得出a的坐标；（2）先根据夹角求出ab，根据模的运算律22aa，即可得到abrr.【详解】解：（1）1,3b，||2b与b共线的单位向量为13,22bcb.||4a，//ab，||2,23aac或2,23.（2）||4a，||2b，,120ab，||||cos,4ababab，222()228abaabb，||27ab.9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，12CDAEDAEB，记BCa，CAb.试用向量a，b表示DE.【答案】1()3DEba【解析】根据向量的减法及向量的数乘，化简即可求解.【详解】因为111()()333AEABCBCAab，2233ADACb，所以121()()()333DEAEADabbba.即1()3DEba10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量(1,3),(1,)abt，若(2)aba，（1）求向量a与b的夹角；（2）求3ab的值．【答案】（1）34；（2）55．【解析】（1）根据(2)aba得到2t，再求出=5ab，10a，5b，即得解；（2）直接利用向量的模的坐标公式求解.【详解】（1）(1,-3),(1,)abt，23,32abt，(2)aba，(2)=3132-30abat（），解得2t，11-325ab（），10a，5b，52cos,2105ababab，所以向量a与b的夹角为34.（2）2223969106-55125abaabb（），355ab．1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和m，n，定义：mnmnnn，若平面向量,ab满足||2||0ab，a与b的夹角πθ0,3骣琪Î琪桫，且ab和ba都在集合4nnZ中，则ab的值可能为（）A．5B．4C．3D．2【答案】CD【解析】由已知得集合{|}4nnZ的元素特征，再分析ab和ba的范围，再由定义计算后，可得答案.【详解】首先观察集合311113{|},1,,,,0,,,,1,4424424nnZ，从而分析ab和ba的范围如下：因为(0,)3，∴1cos12，而cosbbabaaaa，且||2||0ab，可得10cos2ba，又∵ba{|}4nnZ中，∴1cos4ba，从而14cosba，∴2cos4cosaababbbb，又21cos14，所以214cos4ab．且ab也在集合{|}4nnZ中，故有2ab或3．故选：CD.2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若OCmOAnOB，则mn的取值范围是___________.练提升TIDHNE【答案】(1,0)【解析】如图所示，由A，B，D三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数满足(1)ODOAOB，ODtOC，1t，(1)tOCOAOB，即1OCOAOBtt，与OCmOAnOB两比较，即可得出．【详解】解：如图所示，A，B，D三点共线，存在实数满足(1)ODOAOB，又ODtOC，1t，(1)tOCOAOB，即1OCOAOBtt，与OCmOAnOB两比较，可得mt，1nt，则1(1,0)mnt．mn的取值范围是(1,0)．故答案为：(1,0)．3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知A(1，1)，B(0，1)，C(1，0)，M为线段BC上一点，且CMCB，若MABCMBMC，则实数的取值范围是___________.【答案】21,12【解析】根据CMCB可得1xy，再表示出MAMBMCBC，，，坐标，由条件可得2220xyy，再将1xy代入可得关于的不等式，从而可得答案.【详解】解析：设点,Mxy，由CMCB，得1,1,1xy，所以1xy.因为MABCMBMC，所以1,11,1,11,xyxyxy，即2211xyxxyy，化简得2220xyy将1xy代入2220xyy，得22120，即22410，解得221122.因为M为线段BC上一点，且CMCB，所以01≤≤.综上，可知2112.故实数的取值范围是21,12.4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑,𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑,𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑的模分别为1,1,√2,𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑与𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑的夹角为𝛼，且tan𝛼=7,𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑与𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑的夹角为45∘，若𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=𝑚𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑+𝑛𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑(𝑚,𝑛∈𝑅)，则𝑚+𝑛=_________．【答案】3【解析】以𝑂𝐴为𝑥轴，建立直角坐标系，则𝐴(1,0)，由𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑的模为√2与𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑与𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑的夹角为𝛼，且tan𝛼=7知，cos𝛼=√210,𝑠𝑖𝑛𝛼=√210，可得𝐶(15,75),𝐵(cos(𝛼+45∘),𝑠𝑖𝑛(𝛼+45∘))，∴𝐵(−35,45)，由𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=𝑚𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑+𝑛𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑可得(15,75)=(𝑚−35𝑛,45𝑛),{15=𝑚−35𝑛75=45𝑛𝑚=54,𝑛=74，∴𝑚+𝑛=3，故答案为3.5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系xOy中，已知向量22,22m，sin,cosnxx，0,x．若//mnurr，则x______；若存在两个不同的x值，使得nmtn恒成立，则实数t的取值范围为______．【答案】3422,2．【解析】根据向量平行的坐标表示可求34x；用坐标表示出nmtn，结合三角函数的图象可得实数t的取值范围.【详解】由向量共线得22cossin22xx，则tan1x，又0,x，则34x；计算得22sin,cos22mnxx，则2222sincos22sin224mnxxx，又存在两个不同的x值，使得nmtn恒成立，则22sin4tx在0,上有两个不同的解，令22sin,0,4yxx，由0,x，得3,444x，作出简图如下，所以有222t．故