【新高考复习】专题6.3 平面向量的应用 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲

专题6.3平面向量的应用新课程考试要求1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.3.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）等.考向预测（1）以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．（2）正弦定理或余弦定理独立命题；（3）正弦定理与余弦定理综合命题；（4）与三角函数的变换结合命题；（5）考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体几何等结合考查.【知识清单】知识点1.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)．(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)．(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝a·b|a||b|．(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．知识点2．向量在物理中的应用数学中对物理背景问题主要研究下面两类：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__．知识点3．正弦定理正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB知识点4．余弦定理余弦定理：2222cosabcabC，2222cosbcaacA，2222coscabacB.变形公式cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，osC＝a2＋b2－c22ab【考点分类剖析】考点一：平面向量在平面几何中的应用【典例1】（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量AB与AC满足0||||ABACBCABAC，且2ABABCB，则ABC为（）A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【典例2】（2021·吉林吉林市·高三三模（文））已知A､B为平面上的两个定点，且2AB，该平面上的动线段PQ的端点P､Q，满足5AP，6APABuuuruuur，2AQAP，则动线段PQ所形成图形的面积为（）A．36B．60C．72D．108【典例3】（2021·济南市·山东师范大学附中高一期中）设P为ABC所在平面上一点，且满足2(0)PAPCmABm，若ABP△的面积为2，则ABC面积为_______________．【总结提升】1.用平面向量解决几何问题，往往涉及平行、垂直．2.处理几何问题有两个角度，一是注意选定基底，用相同的向量表示研究对象；二是通过建立坐标系，利用向量的坐标运算求解．3.要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使AB→＝λCD→成立，且AB与CD无公共点．4.要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB→＝λAC→．5.要求一个角，如∠ABC，只要求向量BA→与向量BC→的夹角即可．6.在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决．【变式探究】1．（2021·河北高一期中）已知ABC是边长为2的正三角形，点M为ABC所在平面内的一点，且2ABAMACAM，则AM长度的最小值为（）A．64B．63C．62D．62.（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））若O为ABC所在平面内任意一点，且满足20BCOBOCOA，则ABC的形状为______．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）考点二：用向量方法探究存在性问题【典例4】在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是边AC上靠近点A的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P，使得PC⊥BM?【规律总结】本题若用平面几何知识解非常复杂，利用共线向量则能巧妙解决，在今后解题中注意体会和应用．【变式探究】△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是边BC的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC．考点三：平面向量在物理中的应用【典例5】（2021·全国高一课时练习）空间作用在同一点的三个力123,,FFF两两夹角为60，大小分别为123||1,||2,||3FFF，设它们的合力为123FFFF，则（）A．||25F，且与1F夹角余弦为710B．||25F，且与1F夹角余弦为910C．||5F，且与1F夹角余弦为710D．||5F，且与1F夹角余弦为410【典例6】（2021·全国高一课时练习）如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长20ABcm，与墙夹角为，如果不计木板的重量，则为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？【总结提升】1.求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．2．如果一个物体在力G的作用下产生位移为s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．【变式探究】1．【多选题】（2021·浙江高一期末）在水流速度为43km/h的河水中，一艘船以12km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（）A．这艘船航行速度的大小为123km/hB．这艘船航行速度的大小为83km/hC．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为150D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为1202.（2021·云南昆明市·高三三模（理））两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则1F与2F大小之比为___________．考点四：正弦定理【典例7】（2019·全国高考真题（文））VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.【典例8】（2021·济南市·山东师范大学附中高一期中）已知1a，3b，21ab（1）求a与b的夹角；（2）在平面四边形ABCD中，若BAa，BCb，213AD，2ADCACD，求ACD△的面积．【总结提升】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解【变式探究】1.（2019·北京高考模拟（理））在𝛥𝐴𝐵𝐶中，已知BC=6，AC=4，𝑠𝑖𝑛𝐴=34，则∠B=______．2.（2018·北京高考真题（理））在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–17．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．考点五余弦定理【典例9】（2020·全国高考真题（文））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a=3c，b=27，求ABC的面积；（2）若sinA+3sinC=22，求C.【典例10】（2021·济南市·山东省实验中学高一期中）在平面四边形ABCD中，AB=4，AD=22，对角线AC与BD交于点E；E是BD的中点，且2AEEC.（1）若4ABD，求cos∠AED的值；（2）若3AC，求BD的长.【规律方法】应用余弦定理解答两类问题：【变式探究】1.（2021·四川雅安市·雅安中学高一期中）已知ABC的角,,ABC所对的边分别为,,abc，设向量(,),(sin,sin),(2,2)mabnBApba.（1）若//mn，求证ABC为等腰三角形；（2）若mp，2c，3C，求ABC的面积.2.（2019·北京高考真题（文））在△ABC中，a=3，–2bc，cosB=12．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．【总结提升】已知三边(abc如、、），由余弦定理求AB、，再由180ABC求角C，在有解时只有一解.已知两边和夹角(abC如、、），余弦定理求出对边.考点六正弦定理与余弦定理的综合运用【典例11】（2020·江苏省高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3,2,45acB．（1）求sinC的值；（2）在边BC上取一点D，使得4cos5ADC，求tanDAC的值．【典例12】（2021·天津滨海新区·高一期末）在ABC中，已知内角ABC，，所对的边分别为abc，，，向量(1,3)m，向量(cos,sin)nCC，且m∥n.（1）求角C的大小；（2）若3,2c0,ACAB求ab的取值范围；（3）若ABC的内切圆的周长为4π，当CACBuuruur的值最小时，求ABC的面积.【总结提升】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．【变式探究】1.（2020·天津高考真题）在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,𝐶所对的边分别为𝑎,𝑏,𝑐．已知𝑎=2√2,𝑏=5,𝑐=√13．（Ⅰ）求角𝐶的大小；（Ⅱ）求sin𝐴的值；（Ⅲ）求sin(2𝐴+𝜋4)的值．2．（2019·全国高考真题（理））VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC．（1）求A；（2）若22abc，求sinC．