【新高考复习】专题7.4 数列求和 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析

专题7.4数列求和1．（2021·全国高三其他模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若11nnan，则S99＝（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】采用裂项相消法求数列的和【详解】因为111nannnn，所以992132999810099S10011019故选C.2．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7=𝑎1(1−27)1−2=381，解得a1=3．练基础故选：B．3．（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列na的前4项和为15，且53134aaa，则3a（）A．16B．8C．4D．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{an}的公比为q，则2311114211115,34aaqaqaqaqaqa，解得11,2aq，2314aaq，故选C．4．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）【多选题】在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（）A．此人第二天走了九十六里路B．此人第三天走的路程站全程的18C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D．此人后三天共走了42里路【答案】ACD【解析】设此人第n天走na里路，则数列na是首项为1a，公比为12q的等比数列，因为6378S，所以1661(1)2=378112aS，解得1192a，对于A，由于21192962a，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；对于B，由于3148119248,43788a，所以B不正确；对于C，由于378192186,1921866，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；对于D，由于4561111924281632aaa，所以D正确，故选：ACD5.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若13314aS，，则S4=___________．【答案】58.【解析】设等比数列的公比为q，由已知223111314Saaqaqqq，即2104qq解得12q，所以441411()(1)521181()2aqSq．6．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）记nS为递增等比数列na的前n项和，若1238aaa，434aa则10S的值为______.【答案】1023【解析】首先利用已知条件求得等比数列的公比和首项，最后根据等比数列的前n项和公式求出10S即可.【详解】因为数列na为等比数列，所以312328aaaa，解得22a，设等比数列na的公比为q，因为434aa，所以2224aqaq即22qq，解得2q=或1q，因为等比数列na是递增数列，所以2q=，11a，所以1010101221102312S.故答案为：10237．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知正项等比数列na的前n项和为nS，2122Sa，534aa，则数列na中不超过2021的所有项的和为___________.【答案】2046【解析】先根据题意列方程组，求出通项公式，再判断不超过2021的所有项的和为前10项的和，直接利用等比数列的前n项和公式求和即可.【详解】设正项等比数列na的公比为q，10,0qa，因为2122Sa，534aa，所以1114311224aaqaaqaq，解得：122aq，所以2nna.令2021na，解得：10n.所以数列na中不超过2021的所有项的和为：101011012122046112aqSq.故答案为：2046.8．（2021·福建高三其他模拟）记nS为等比数列na的前n项和，已知11a，1nnSat．（1）求t；（2）求数列cosπnna的前n项和．【答案】（1）1t；（2）11233n．【解析】（1）由已知1nnSat，令1n，求出2a，再令2n，1nnnaSS，求出等比数列的公比，由21aqa，即可求解；（2）由（1）求出na通项公式，可得数列cosπnna为等比数列，根据等比数列的前n项和公式，即可得出结论.【详解】（1）令1n，则由1nnSat可得122,1Satat，当2n时，由1nnSat可得1nnSat，两式相减，可得1nnnaaa，即12nnaa，依题意，na为等比数列，故221,1att；（2）由（1）可知na为首项等于1，公比等于2的等比数列，故12nna；故cosnna为首项等于1，公比等于2的等比数列，故112nna．故121121233nnnT．9．（2021·辽宁高三其他模拟）已知na为等差数列，nb为等比数列，且满足114324321,2,4,4abaaabbb．（1）求na和nb的通项公式；（2）对任意的正整数n，设nnncab，求数列nc的前n项和nS．【答案】（1）nan，2nnb；（2）1(1)22nnSn．【解析】（1）设出数列的公差和公比，结合条件求出公差和公比，然后写出通项公式；（2）求出2nncn，结合错位相减法求和可得数列nc的前n项和nS．【详解】（1）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，由14321,4aaaa，则1＋3d＝4d，可得d＝1，所以11nann，因为14322,4bbbb，所以322422qqq，整理得2(2)0q，解得q＝2，所以1222nnnb；（2）2nncn，2323411222322,21222322nnnnSnSnLL，两式相减，得23411121212222222(1)2212nnnnnnSnnnL所以1(1)22nnSn．10．（2021·广东实验中学高三其他模拟）已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn，满足an+1＝Sn+1（n∈N*）．（1）求Sn；（2）记bn＝11nnnnSSSS，求数列{bn}的前n项和Tn．【答案】（1）21nnS；（2）11121nnT.【解析】（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；（2）求得1112121nnnb，由数列的裂项相消求和，化简即可得到答案.【详解】（1）当2n时，11nnaS，又11nnaS，所以11nnnnnaaSSa，即12(2)nnaan，在11nnaS中，令1n，可得211aa因为11a，所以2122aa故na是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为12nna，所以1121nnnSa.（2）因为11nnnnnSSbSS1111112121nnnnSS所以111111(1)()()3372121nnnT11121n故nT11121n1．【多选题】（2021·吉林松原市·高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第*nnN项与第1n项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前n项，从而形成新的数列na，数列na的前n项和为nS，则（）A．520212aB．620212aC．6320213259SD．64202123S【答案】AD【解析】根据题意求出n，然后即可求出520212a，再利用错位相减法求出新数列的和.【详解】设2021a介于第n个1与第1n个1之间或者为这两个1当中的一个，则从新数列的第1个1到第n个1一共有12nn项，从新数列的第1个1到第1n个1一共有212nn项，所以121202122nnnn，解得63n，而6316320162，所以520212a，故A正确，B错误；123621234520211636226126021222222S1236212562261260212，令1236262261260212T，练提升TIDHNE则23463262261260212T，123462632622222212TT，642128T，所以64202123S，故D正确，C错误，故选：AD.2．【多选题】（2021·河北高三其他模拟）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得15BEF；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，且使得15FMN；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为na(其中第1个正方形ABCD的边长为1aAB，第2个正方形EFGH的边长为2aEF，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为nS(其中第1个直角三角形AEH的面积为1S，第2个直角三角形EQM的面积为2S，…)，则（）A．数列na是公比为23的等比数列B．1112SC．数列nS是公比为49的等比数列D．数列nS的前n项和14nT【答案】BD【解析】先得到162nnaa，即163nnaa可判断A，再求出12()83nnS，可判断B与C，最后求出2121()43nT，可判断D.【详解】如图：由图知1116(sin15cos15)2sin(1545)2nnnnaaaa，对于A：1166,23nnnnaaaa，数列na是公比为63的等比数列，故A不正确；对于BC：因为11661()()33nnna，所以221112212()()()443383nnnnnnaaS，所以数列nS是首项为112，公比为23的等比数列，故B正确，C不正确；对于D：因为2121()1211231()243413nnT，故D正确，故选：BD.3．（2022·河南高三月考（文））已知数列na满足11a，1220nnaa.（1）求数列na的通项公式；（2）若nnbna，求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）122nna；（2）2122nnnSnnn.【解析】（1）由1220nnaa，化简得到1222nnaa，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）知122nna，单调122nnnbnann，结合等差数列的求和公式和乘公比错位相减法，即可求解.【详解】（1）由题意，数列na满足1220nnaa，可