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专题7.6数学归纳法新课程考试要求1.了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象等.考向预测1.数学归纳法原理；2．数学归纳法的简单应用.3．利用数学归纳法证明数列相关问题.【知识清单】知识点一．数学归纳法1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．2.数学归纳法的框图表示【考点分类剖析】考点一利用数学归纳法证明不等式【典例1】（2021·浙江高三专题练习）已知等比数列na的公比1q，且23414aaa，31a是2a，4a的等差中项，数列nb满足：数列nnab的前n项和为2nn.（1）求数列na、nb的通项公式；（2）数列nc满足：13c，*1,nnnnbccnNc，证明*12(2),2nnncccnN【典例2】（2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已知数列na满足*11()11,1nnaanNna.(1)求23,aa，并猜想na的通项公式(不需证明)；(2)求证:*1222()11naaannN.【例3】（2021·全国高三专题练习）已知函数11()()(0)2fxxxx，1()nnafa，对于任意的*nN，都有1nnaa.（1）求1a的取值范围（2）若132a，证明：1112nna(*,2nNn)（3）在（2）的条件下，证明：1223121nnaaanaaa【总结提升】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【变式探究】1.（2021·浙江高三专题练习）已知数列nx满足：11x，11ln1nnnxxxnN证明：当*nN时，（I）10nnxx；（II）1122nnnnxxxx≤；（III）121122nnnx≤≤.2.（2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考）已知等比数列na的公比1q，且13542aaa，39a是15,aa的等差中项，数列nb的通项公式1211nnnnbaa，*nN.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）证明：11221nnbbb，*nN.3.（2020届浙江省温州市11月适应测试）已知等差数列na的首项11a，数列2na的前n项和为nS，且12S，22S，32S成等比数列．（1）求通项公式na；（2）求证：12111nnnnaaannaaan（*nN）；考点二归纳、猜想、证明【典例4】（2021·全国高三专题练习）设数列na满足13a，134nnaan．（1）计算2a、3a，猜想na的通项公式并加以证明；（2）求数列2nna的前n项和nS．【典例5】（2021·全国高三专题练习）已知函数0sinaxfxebx，设nfx为1nfx的导数，*nN．（1）求1fx，2fx；（2）猜想nfx的表达式，并证明你的结论．【总结提升】(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤①计算(根据条件，计算若干项)．②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．③证明(用数学归纳法证明)．(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．【变式探究】1.（2019·浙江高二期末）数列na的前n项和为nS，且满足*12NnnnaSnS．(Ⅰ)求1S，2S，3S，4S的值；(Ⅱ)猜想数列nS的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．2.给出下列不等式：112，1+12+131，1+12+13+14+15+16+1732，1+12+13+⋯⋯+1152，1+12+13+⋯⋯+13152，……（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想.考点三利用数学归纳法证明等式【典例6】已知a，b，c，使等式1⋅22+2⋅32+⋯+𝑛(𝑛+1)2=𝑛(𝑛+1)12(𝑎𝑛2+𝑏𝑛+𝑐)对𝑛∈N+都成立，（1）猜测a，b，c的值；（2）用数学归纳法证明你的结论.【典例7】证明：11×3＋13×5＋…＋12n－12n＋1＝n2n＋1．(n∈N*)【总结提升】数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．【变式探究】1.数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n2，n∈N＋)．【答案】见解析【解析】[错解](1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立．(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么由等比数列的前n项和公式，得2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(12)12k＝2(2k－1)．所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，等式对任意n2，n∈N＋都成立．[辨析]错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．2.（2018·江苏高考模拟（理））在正整数集上定义函数𝑦=𝑓(𝑛)，满足𝑓(𝑛)[𝑓(𝑛+1)+1]=2[2−𝑓(𝑛+1)]，且𝑓(1)=2．（1）求证：𝑓(3)−𝑓(2)=910；（2）是否存在实数a，b，使𝑓(𝑛)=1𝑎(−32)𝑛−𝑏+1，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论．【易错提醒】在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的依据，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．