【新高考复习】专题7.6 数学归纳法 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解

专题7.6数学归纳法新课程考试要求1.了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象等.考向预测1.数学归纳法原理；2．数学归纳法的简单应用.3．利用数学归纳法证明数列相关问题.【知识清单】知识点一．数学归纳法1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．2.数学归纳法的框图表示【考点分类剖析】考点一利用数学归纳法证明不等式【典例1】（2021·浙江高三专题练习）已知等比数列na的公比1q，且23414aaa，31a是2a，4a的等差中项，数列nb满足：数列nnab的前n项和为2nn.（1）求数列na、nb的通项公式；（2）数列nc满足：13c，*1,nnnnbccnNc，证明*12(2),2nnncccnN【答案】（1）12nna-=，1nbn；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列na的通项公式，再由数列nnab的前n项和为2nn，进而求得nb的通项公式；（2）把nb的通项公式代入*1,nnnnbccnNc，首先利用数学归纳法证得12ncn，再利用放缩法及等差数列的前n项和，即可证明.【详解】（1）由23414aaa，31a是2a，4a的等差中项，可得2343241421aaaaaa，即324410aaa，即4410qq，解得2q=或12q，又因为1q，所以2q=，又由3121aaq，所以1112nnnaaq，因为数列nnab的前n项和为2nn，当1n时，111122ab，当2n时，112(1)2(1)2nnnnnabnnn，当1n时，112ab满足上式，所以1(1)2nnnabn，所以11(1)212nnnnbn.（2）先用数学归纳法证明当*nN，12ncn，①当1n时，1133,22cn，左式右式，不等式成立；②假设nk时，不等式成立，即12kck，当1nk时，11kkkkccc，因为1()kfxxx在(1,)k上单调递增，由112kckk，得12kfcfk，即111122kkckk，可得132kck，不等式也成立.由①②得证当*nN，12ncn，所以1231351(2)2222222nnnncccnn.【典例2】（2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已知数列na满足*11()11,1nnaanNna.(1)求23,aa，并猜想na的通项公式(不需证明)；(2)求证:*1222()11naaannN.【答案】(1)2311,23aa;猜想1nan;(2)证明见解析【解析】(1)2311,23aa猜想1nan(2)12122222nannnn1222121nn22121nn所以12naaa213352121nn2211n(2)方法二用数学归纳法证明:(1)当1n时，左边11a，右边2211162，左边右边，不等式成立；(2)假设*()nkkN时，不等式成立，即122211kaaak，那么当1nk时，只要证明121kkaaaa22111k成立，只要证明1221122111kkak即证122122111kkk只要证明1212212222311kkkkk即证12122411kkk，即证2221143kkk只要证明221624816249kkkk，显然成立，所以1nk时不等式也成立.综合(1)(2)可得对一切的*nN不等式均成立.【例3】（2021·全国高三专题练习）已知函数11()()(0)2fxxxx，1()nnafa，对于任意的*nN，都有1nnaa.（1）求1a的取值范围（2）若132a，证明：1112nna(*,2nNn)（3）在（2）的条件下，证明：1223121nnaaanaaa【答案】（1）11a；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）根据函数()fx的表达式，再结合1()nnafa，得111()()2nnnnafaaa，解不等式10nnaa，又0na，得到1na，又n取任意正整数，所以11a；（2）先用导数进行研究，可到函数()fx在区间(1,)上是增函数，再利用数学归纳的方法，可以证明1112nna(*,2nNn)；（3）由111()()2nnnnafaaa，解得2111nnnaaa，变形得211111nnnaaa，又10nnaa，所以21111nnnaaa，211()gxx，则()gx在(1,)上递增，再通过放缩得1112nnnaa，再依此为依据，进行累加即可得到原式是成立的.【详解】（1）由题得111()()2nnnnafaaa，1nnaa111()02nnnnaaaa恒成立210nnaa0na1na，故：11a（2）11()()2fxxx211()(1)2fxx当1x时，()0fx函数()fx在(1，)上是单调递增函数.下面用数学归纳法证明：*111(,2)2nnanNn①当2n时，由132a得213111131()12122aaa成立.②假设当(2)nkk时，结论成立.即：1112kka那么当1nk时11111111()(1)(1)122212kkkkkafaf1112111111(11)(2)12221222kkkk这表明当1nk时不等式也成立，综合①②可知：当*nN，2n时1112nna成立（3）111()2nnnaaa且0na2111nnnaaa211111nnnaaa1nnaa21111nnnaaa令211()gxx，则()gx在(1,)上递增由（2）知：1121212121111221222211111(21)(21)212(1)2nnnnnnnnnnaaa(2)n又12511132aa左边12231(1)(1)(1)nnaaaaaa2322[1()]1111222(21)[1()]2122222212nnn1223121nnaaanaaa【总结提升】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【变式探究】1.（2021·浙江高三专题练习）已知数列nx满足：11x，11ln1nnnxxxnN证明：当*nN时，（I）10nnxx；（II）1122nnnnxxxx≤；（III）121122nnnx≤≤.【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】（I）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得21111114222ln1nnnnnnnnxxxxxxxx，构造函数222ln10fxxxxxx，利用函数的单调性可证；（Ⅲ）由1111ln1nnnnnxxxxx及1122nnnnxxxx，递推可得121122nnnxnN.【详解】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0nx．当1n时，110x．假设nk时，0kx，那么1nk时，若10kx，则110ln10kkkxxx，矛盾，故10kx．因此0()nxnN，所以111ln(1)nnnnxxxx，因此10()nnxxnN．（Ⅱ）由11ln(1)nnnxxx得，2111111422(2)ln(1)nnnnnnnnxxxxxxxx．记函数2()2(2)ln(1)(0)fxxxxxx，22'()ln(1)0(0)1xxfxxxx，函数fx在0,上单调递增，所以()(0)0fxf，因此2111112(2)ln(1)()0nnnnnxxxxfx，故112()2nnnnxxxxnN．（Ⅲ）因为11111ln(1)2nnnnnnxxxxxx，所以112nnx，由1122nnnnxxxx，得111112()022nnxx，所以12111111112()2()2222nnnnxxx，故212nnx．综上，1211()22nnnxnN．2.（2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考）已知等比数列na的公比1q，且13542aaa，39a是15,aa的等差中项，数列nb的通项公式1211nnnnbaa，*nN.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）证明：11221nnbbb，*nN.【答案】（Ⅰ）2nna；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由39a是1a，5a的等差中项得153218aaa，所以135aaa331842a，解得38a，由1534aa，得228834qq，解得24q或214q，因为1q，所以2q=.所以，2nna.（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可得122121nnnnb，*nN.122121nnnnb1112(2121)(2121)(2121)nnnnnnn112(2121)2121nnnnn112(2121)21212nnnnnn，2112(2121)nbbb321(2121)2121nnL1121121nn.法2：由（Ⅰ）可得122121nnnnb，*nN.我们用数学归纳法证明.（1）当1n时，1231313b，不等式成立；（2）假设nk（*kN）时不等式成立，即11221kkbbb.那么，当1nk时，121kkbbbb11122212121kkkk121k11212122(2121)(2121)(2121)kkkkkkk112112(2121)212kkkkk221k，即当1nk时不等式也成立.根据（1）和（2），不等式11221nnbbb