考点02充要条件与量词【命题解读】充要条件.高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查,主要命题形式是选择题.由于知识载体丰富,因此题目有一定综合性,属于中、低档题.命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定.关于存在性命题与全称命题,一般考查命题的否定【基础知识回顾】1、充分条件与必要条件(1)充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p(2)从集合的角度:若条件p,q以集合的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则由A⊆B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系.提示若AB,则p是q的充分不必要条件;若A⊇B,则p是q的必要条件;若AB,则p是q的必要不充分条件;若A=B,则p是q的充要条件;若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.2、全称量词与全称命题(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”❷在逻辑中通常叫作全称量词.(2)全称命题:含有全称量词的命题.(3)全称命题的符号表示:形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题,用符号简记为∀x∈M,p(x).3、存在量词与特称命题(1)存在量词:短语“存在一个”❷“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词.(2)特称命题:含有存在量词的命题.(3)特称命题的符号表示:形如“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”的命题,用符号简记为∃x0∈M,p(x0).1、命题“∀x∈R,x2+x≥0”的否定是()A.∃x0∈R,x20+x0≤0B.∃x0∈R,x20+x0<0C.∀x∈R,x2+x≤0D.∀x∈R,x2+x<0【答案】B【解析】由全称命题的否定是特称命题知命题B正确.故选B.2、“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】选B若x=1,则(x-1)(x+2)=0显然成立,但反之不成立,即若(x-1)(x+2)=0,则x的值也可能为-2.3、命题“∃x∈[0,1],x2-1≥0”是________命题(选填“真”或“假”).【答案】真【解析】取x=1,则x2-1=0,所以为真命题.4、(江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研)已知,xyR,则“1a”是“直线1010axyxay和直线平行”的____条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”中选择一个).【答案】充要【解析】当两直线平行时210a,解得1a,但当1a时,直线重合,故1a.所以为充要条件.5、(一题两空)已知p:|x|≤m(m0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为________;若p是q的必要条件,则m的最小值为________.【答案】14【解析】由|x|≤m(m0),得-m≤x≤m.若p是q的充分条件⇒-m≥-1m≤4⇒0m≤1.则m的最大值为1.若p是q的必要条件⇒-m≤-1m≥4⇒m≥4.则m的最小值为4.考向一、充要条件、必要条件的判断例1、已知直线l,m,平面α,m⊂α,则“l⊥m”是“l⊥α”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”).【答案】必要不充分【解析】根据直线与平面垂直的定义:若直线与平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线与这个平面垂直.现在是直线与平面内给定的一条直线垂直,而不是任意一条,故由“l⊥m”推不出“l⊥α”,但是由定义知“l⊥α”可推出“l⊥m”,故填必要不充分.变式1、.设x∈R,则“1x2”是“|x-2|1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|x-2|1,得1x3,所以1x2⇒1x3;但1x31x2.所以“1x2”是“|x-2|1”的充分不必要条件.变式2、设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】|a-3b|=|3a+b|⇔(a-3b)2=(3a+b)2⇔a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,又∵|a|=|b|=1,∴a·b=0⇔a⊥b,因此|a-3b|=|3a+b|是“a⊥b”的充要条件.变式3、下列选项中,p是q的必要不充分条件的是()A.:37pm;q:方程22173xymm的曲线是椭圆B.:8pa…;q:对[1x,3]不等式20xa„恒成立C.设{}na是首项为正数的等比数列,p:公比小于0;q:对任意的正整数n,2120nnaaD.已知空间向量(0a,1,1),(bx,0,1),:1px;q:向量a与b的夹角是3【答案】ABC:.【解析】A,若方程22173xymm的曲线是椭圆,则703073mmmm,即37m且5m,即“37m”是“方程22173xymm的曲线是椭圆”的必要不充分条件;B,[1x,3]不等式20xa„恒成立等价于2ax…恒成立,等价于9a…;“8a…”是“对[1x,3]不等式20xa„恒成立”必要不充分条件;:{}nCa是首项为正数的等比数列,公比为q,当11a,12q时,满足0q,但此时12111022aa,则2120nnaa不成立,即充分性不成立,反之若2120nnaa,则2221110nnaqaq10a,22(1)0nqq,即10q,则1q,即0q成立,即必要性成立,则“0q”是“对任意的正整数n,2120nnaa”的必要不充分条件.D:空间向量(0a,1,1),(bx,0,1),则001ab,cosa,22222211cos32||||0(1)10(1)abbabx,解得1x,故“1x”是“向量a与b的夹角是3”的充分不必要条件.方法总结:充要条件的三种判断方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.(2)集合法:根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,考向二充要条件等条件的应用例2、设命题:|43|1px≤;命题2:(21)(1)0qxaxaa≤.若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【解析】:设A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},易知A={x|≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}.由p是q的充分不必要条件,即AB,∴故所求实数a的取值范围是[0,].变式1、已知不等式102xx…的解集为条件p,关于x的不等式222310xmxmm(23m)的解集为条件q.(1)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围;(2)若p的充分不必要条件是q,求实数m的取值范围.【解析】条件由,可得,解得,记;条件由,可得,因为,所以,所以,记.(1)若是的充分不必要条件,则,可得,解得,所以实数的取值范围是;(2)若的充分不必要条件是,则,可得,解得,又,所以实数的取值范围是.变式2、已知p:xx+2≥0,x-10≤0,q:{x|1-m≤x≤1+m,m0}.(1)若m=1,则p是q的什么条件?(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为p:xx+2≥0,x-10≤0={x|-2≤x≤10},q:{x|1-m≤x≤1+m,m0}={x|0≤x≤2},显然{x|0≤x≤2}{x|-2≤x≤10},所以p是q的必要不充分条件.(2)由(1),知p:{x|-2≤x≤10},因为p是q的充分不必要条件,21,1121aa21p:102xx…(1)(2)020xxx„12x„[12)A,q:222310xmxmm[(21)][(1)]0xmxm23m(21)1mm211mxm(211)Bmm,pqABÞ21112mm…1m…m[1),pqBAÞ21112mm…„0m„23mm2(0]3,所以m0,1-m≤-2,1+m≥10,1-m=-2与1+m=10不同时相等.解得m≥9,即m∈[9,+∞).方法总结:充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.考向三含有量词的命题例3、(1)写出下列命题的否定,并判断真假.(1):pxR,都有xx;(2):pxR,32xx;(3):p至少有一个二次函数没有零点;(4):p存在一个角R,使得sin2cos21.(2)下列四个命题:①∃x∈(0,+∞),1123xx;②∃x∈(0,1),1123loglogxx;③∀x∈(0,+∞),12x12logx;④∀x∈0,13,12x13logx.其中真命题的序号为________.【解析】(1)(1)p是全称命题.p:11|1|1xRxxx,有,如=-,-=-,所以p是真命题.(2)p是全称命题.p:xR,32xx,如01x=-时,(-1)3=-1×(-1)2=-1,即(-1)3≤(-1)2,所以p是真命题.(3)p是存在性命题.p:所有二次函数都有零点,如二次函数22(2312)0yxxx=++=++>.xR,2230yxx=++.因为p是真命题,所以p是假命题.(4)p是存在性命题.p:22sincos1R,+=,设任意角终边与单位圆的交点为()Pxy,.则sincosyx,显然有221yx+=,所以p是真命题.(2)②④对于①,当x∈(0,+∞)时,总有12x13x成立,故①是假命题;对于②,当x=12时,有1112331111=log=loglog232成立,故②是真命题;对于③,当0x12时,12logx112x,故③是假命题;对于④,∀x∈0,13,12x113logx,故④是真命题变式1、设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题:A.存在一条定直线与所有的圆均相切;B.存在一条定直线与所有的圆均相交;C.存在一条定直线与所有的圆均不相交;D.所有的圆均不经过原点.其中为真命题的是().【答案】:BD【解析】:圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4的圆心坐标为(k-1,3k),则圆心在直线3x-y+3=0上,由k=1,2,3可作图观察出所有圆都与y轴相交,即(k-1)2+(y-3k)2=2k4关于y的方程有解;所有圆均不经过原点,即关于k的方程(k-1)2+9k2=2k4,即2k4-10k2+2k-1=0,没有正整数解,因此四个命题中BD正确.方法总结:1、判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判定存在性命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立.2、全称(或存在性)命题的否定是将其全称(或存在)量词改为存在量词(或全称量词),并把结论否定.考向四全称(存在)量