【新高考复习】考点05 一元二次不等式（解析版）

考点05一元二次不等式【命题解读】2021年独立考查的内容将是不等式的性质或基本不等式的应用问题，不等式的解法将与集合、函数等其它知识点综合考查.因此下面几点：1、掌握简单的含参一元二次不等式求解．2、理解与一元二次不等式相关的恒成立问题的求解．3、了解一元二次不等式在实际问题中的应用．【基础知识回顾】1、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)有两相等实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}x|x≠－b2aR一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法（1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔a＞0，b2－4ac＜0.（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔a＜0，b2－4ac＜0.3、．简单分式不等式(1)fxgx≥0⇔fxgx≥0，gx≠0.(2)fxgx0⇔f(x)g(x)01、(2020·北京市海淀区期末)不等式x2＋2x－30的解集为()A．{x|x－3或x1}B．{x|x－1或x3}C．{x|－1x3}D．{x|－3x1}【答案】D【解析】由x2＋2x－30得(x＋3)(x－1)0，解得－3x1.故选D.2、若集合2|0,|121xAxBxxx，则AB=（）A.[2,2)B.(]1,1C.11，D.12，【答案】C【解析】由题意，2|0|211xAxxxx，{|12}Bxx，则{|11}ABxx，故答案为C。3、(2020·黄冈调研)关于x的不等式ax＋b0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)0的解集是()A．(－∞，1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(1,2)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【答案】C【解析】；关于x的不等式ax＋b0的解集是(1，＋∞)，∴a0，且－ba＝1，4、“不等式x2－x＋m0在R上恒成立”的充要条件是()A．m14B．m14C．m1D．m1【答案】：A【解析】∵不等式x2－x＋m0在R上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m0，解得m14，又∵m14，∴Δ＝1－4m0，∴“m14”是“不等式x2－x＋m0在R上恒成立”的充要条件．故选A.5、下列四个解不等式，正确的有()A．不等式2x2－x－10的解集是{x|x2或x1}B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是xx≤－23或x≥12C．若不等式ax2＋8ax＋210的解集是{x|－7x－1}，那么a的值是3D．关于x的不等式x2＋px－20的解集是(q,1)，则p＋q的值为－1【答案】：BCD【解析】：对于A，∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－10得(2x＋1)(x－1)0，解得x1或x－12，∴不等式的解集为xx1或x－12.故A错误；对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥12或x≤－23.故B正确；对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．∴a－8a＋21＝0，∴a＝3.故C正确；对于D，依题意q,1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确．考向一一元二次不等式及简单不等式的解法例1、求下列不等式的解集：(1)－x2＋8x－30；(2)𝑥-12𝑥+1≤0【答案】（1）(-12,1]（2）(-12,1].【解析】(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝520，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－13，x2＝4＋13.又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－13x4＋13}.（2）方法一:𝑥-12𝑥+1≤0等价于{𝑥-1≤0,2𝑥+10,①或{𝑥-1≥0,2𝑥+10.②解①得-12x≤1,解②得x∈⌀,所以原不等式的解集为(-12,1].方法二:不等式𝑥-12𝑥+1≤0⇔{(𝑥-1)(2𝑥+1)≤0,2𝑥+1≠0,所以由二次不等式知{-12≤𝑥≤1,𝑥≠−12,所以-12x≤1.所以原不等式的解集为(-12,1].变式1、解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4.【解析】(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤43，所以原不等式的解集为x－2≤x≤43.(2)原不等式等价于x2－x－2＞0，x2－x－2≤4⇔x2－x－2＞0，x2－x－6≤0⇔x－2x＋10，x－3x＋20⇔x＞2或x＜－1，－2≤x≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x|－2≤x＜－1或2＜x≤3.变式2、（1）解不等式2311xx（2）已知函数222,0()2,0xxxfxxxx则不等式()3fx的解集为________．【答案】1．12xx2．1xx【解析】：1．不等式化为2311xx，化为201xx，∴12x，解集为12xx．2．由题意知22002323xxxxxx或解得：x＞1．故原不等式的解集为1xx变式3、若关于x的不等式axb的解集为1(,)5，则关于x的不等式2405axbxa的解集为________．【答案】4(1,)5【解析】：由已知axb的解集为1(,)5，可知0a，且＝，将不等式2405axbxa两边同除以a，得2405bxxa，即214055xx，解得415x，故不等式2405axbxa的解集为4(1,)5．方法总结：解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).求出对应的一元二次方程的根.(3)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集考向二含参不等式的讨论例1、(1)解关于实数x的不等式：2(1)0xaxa．(2)解关于实数x的不等式：210xax．【解析】（1）由2(1)0xaxa得()(1)0xax，∴12,1xax，①当1a时，2(1)0xaxa的解集为1xxa，②当1a时，2(1)0xaxa的解集为，③当1a时，2(1)0xaxa的解集为1xax．（2）对方程210xax，当240a即22a时不等式的解集为当240a即2a或2a时210xax的根为221244,22aaaaxx不等式的解集为224422aaaaxx变式1、求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集【解析】原不等式可化为12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.当a＞0时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a＜0时，不等式的解集为－∞，a3∪－a4，＋∞.变式2、解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)。【解析】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.②当a＞0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≥0，解得x≥2a或x≤－1.③当a＜0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0.当2a＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤2a；当2a＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；当2a＜－1，即－2a0时，解得2a≤x≤－1.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为x|x≥2a或x≤－1；当－2＜a＜0时，不等式的解集为x2a≤x≤－1；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为x|－1≤x≤2a.方法总结：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；考向三恒成立问题例3、设函数2()1fxmxmx．(1)若对于一切实数x，()0fx恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于1,3x，()5fxm恒成立，求实数m的取值范围．【解析】：(1)要使210mxmx恒成立，若0m，显然10；若0m，则20,40mmm解得40m．所以实数m的取值范围是(4,0．(2)有以下两种方法：法一由()5fxm，得，215mxmxm，即2(1)60mxx，因为22131()024xxx，所以261mxx．因为函数2266131()24yxxx在1,3上的最小值为67，所以只需67m即可．所以，m的取值范围是67mm．法二由()5fxm，得215mxmxm，即213()6024mxm，令213()()6,1,324gmmxmx当0m时，()gx在1,3上是增函数，所以max()(3)760gxgm，所以67m，则607m；当0m时，60恒成立；当0m时，()gx在1,3上是减函数，所以max()(1)60gxgm，所以6m，所以0m．综上所述，m的取值范围是67mm．变式1、若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[－2,2]C．(－2,2]D．(－∞，－2)【答案】C【解析】当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－40对一切x∈R恒成立．当a≠2时，则a－20，Δ＝4a－22＋16a－20，即a－20，a24，解得－2a2.∴实数a的取值范围是(－2,2]．变式2、已知函数22()xxafxx，若对任意[1,),()0xfx恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】3aa【解析】∵[1,)x时，22()0xxafxx恒成立，即220xxa恒成立．即当1x时，2(2)()axxgx恒成立．而22()(2)(1)1gxxxx在[1,)上单调递减，∴max()(1)3gxg，故3a．∴实数a的取值范围是3aa．方法总结：(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁