【新高考复习】考点06 基本不等式及应用（原卷版）

考点06基本不等式及应用【命题解读】基本不等式及其应用等，一般有两种命题方式：一是运用基本不等式研究函数的最值问题；二是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.【基础知识回顾】1、基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.2、算术平均数与几何平均数设a＞0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3、利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是q244、基本不等式的两种常用变形形式(1)ab≤a＋b22(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a＋b≥2ab(a0，b0，当且仅当a＝b时取等号)．5、几个重要的结论(1)a2＋b22≥a＋b22.(2)ba＋ab≥2(ab0)．(3)ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0)．1、（2021·潍坊市潍城区教育局月考）下列不等式一定成立的是（）A．lg(x2＋14)lgx(x0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．212xxxRD．211x1(x∈R)2、若正数,mn满足21mn，则11mn的最小值为（）A.322B.32C.222D.33、（2020·湖南雅礼中学期中）（多选题）给出下面四个推断，其中正确的为（）.A．若，则；B．若则；C．若，，则；D．若，，则.4、已知a0,b0，且2a＋3b＝ab，则ab的最小值是________．5、一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．6、(一题两空)若a0，b0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，1a＋2b的最小值为________．考向一运用基本不等式求函数的最值例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）若33log21logabab，则2ab的最小值为（）A．6B．83C．3D．163变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知0a，0b，若不等式41mabab恒成立，则m的最大值为（）A．10B．12C．16D．9,(0,)ab2baab…,(0,)xylglg2lglgxyxy…aR0a44aa…,xyR0xy2xyyx变式2、(1)已知0x1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)已知x54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．(3)函数y＝x2＋2x－1(x1)的最小值为________．方法总结：(1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．考向二基本不等式中1的运用例2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数fx在R上单调,若正实数,ab满足490fafb，则11ab的最小值是()A．1B．92C．9D．18变式1、若正实数xy，满足1xy，则4yxy的最小值是▲．变式2、已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________．变式3、已知正实数a，b满足a＋b＝1，则bbaa421222的最小值为．方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代换的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法．(3)解决问题时关注对已知条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型考向三运用消参法解决不等式问题例3、(2017苏北四市期末）.若实数x，y满足xy＋3x＝30＜x＜12，则3x＋1y－3的最小值为________．变式1：（徐州、宿迁三检）若0,0ab，且11121abb+++，则2ab+的最小值为．变式2、设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．变式3、已知正数,xyx，y满足111xy，求4911xyxy的最小值．方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．考向四运用基本不等式解决含参问题例1、(2019扬州期末）已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为_________．变式1、已知0,0ab，若不等式313mabab≥恒成立，则m的最大值为________．变式2、（1）已知函数211()1xaxfxaRx，若对于任意*xN，3fx≥恒成立，则a的取值范围是________．(2)已知正数,xy满足22xxyxy恒成立，则实数的最小值为________．方法总结：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题，考点五、运用基本不等式解决实际问题考向五运用基本不等式解决实际问题例5、某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝13x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋10000x－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？变式1、小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为25x万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)变式2、(2016无锡期末）某公司生产的某批产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P＝x＋24(其中0≤x≤a，a为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本6P＋1P万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为4＋20P元/件．(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？方法总结：(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解1、（2019年高考浙江卷）若0,0ab，则“4ab”是“4ab”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2、（2020·山东月考）已知413m，则23143mm的最小值是（）A．329B．36C．629D．123、（2020年高考江苏）已知22451(,)xyyxyR，则22xy的最小值是▲．4、（2019年高考天津卷理数）设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为__________．5、（2018年高考天津卷理数）已知,abR，且360ab，则128ab的最小值为.6、（2020年高考天津）已知0,0ab，且1ab，则11822abab的最小值为_________．7、（2020·泰安市泰山国际学校高三月考）求下列最值：（1）当32x时，求函数823yxx的最大值；（2）设02,x求函数(42)yxx的最大值.8、运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50100x(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋2360x)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．