【新高考复习】考点06 基本不等式及应用（解析版）

考点06基本不等式及应用【命题解读】基本不等式及其应用等，一般有两种命题方式：一是运用基本不等式研究函数的最值问题；二是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.【基础知识回顾】1、基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.2、算术平均数与几何平均数设a＞0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3、利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是q244、基本不等式的两种常用变形形式(1)ab≤a＋b22(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a＋b≥2ab(a0，b0，当且仅当a＝b时取等号)．5、几个重要的结论(1)a2＋b22≥a＋b22.(2)ba＋ab≥2(ab0)．(3)ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0)．1、（2021·潍坊市潍城区教育局月考）下列不等式一定成立的是（）A．lg(x2＋14)lgx(x0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．212xxxRD．211x1(x∈R)【答案】C【解析】当x0时，x2＋14≥2·x·12＝x，所以lg(x2＋14)≥lgx(x0)，故选项A不正确；当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不能确定，故选项B不正确；因为22+1()12xxxxR＋，所以选项C正确；当x＝0时，有211x＝1，故选项D不正确．故选：C.2、若正数,mn满足21mn，则11mn的最小值为（）A.322B.32C.222D.3【答案】A【解析】由题意，因为21mn，则111122()(2)332322nmnmmnmnmnmnmn，当且仅当2nmmn，即2nm时等号成立，所以11mn的最小值为322，故选A。3、（2020·湖南雅礼中学期中）（多选题）给出下面四个推断，其中正确的为（）.A．若，则；B．若则；C．若，，则；D．若，，则.【答案】AD,(0,)ab2baab…,(0,)xylglg2lglgxyxy…aR0a44aa…,xyR0xy2xyyx【解析】对于选项A，因为，则，当且仅当，即时取等号，即选项A正确；对于选项B，当时，，显然不成立，即选项B错误；对于选项C，当时，显然不成立，即选项C错误；对于选项D，，则，则，当且仅当，即时取等号，即选项D正确，即四个推段中正确的为AD，故答案为AD.4、已知a0,b0，且2a＋3b＝ab，则ab的最小值是________．【答案】26【解析】、思路分析利用基本不等式，化和的形式为积的形式．因为ab＝2a＋3b≥22a·3b，所以ab≥26，当且仅当2a＝3b＝6时，取等号．5、一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．【答案】15152【解析】设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝12x·(2y)≤12x＋2y22＝2252，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝152时取等号．6、(一题两空)若a0，b0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，1a＋2b的最小值为________．【答案】294【解析】∵a0，b0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝12a·2b≤12×a＋2b22＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.∵1a＋2b＝1a＋2b·a＋2b4＝145＋2ba＋2ab≥14·5＋22ba·2ab＝94，,(0,)ab22babaabab…baabab,(0,1)xylg,lg(,0)xylglg2lglgxyxy…0a44aa…0xy0,0yxxy[()()]2()()2xyxyxyyxyxyx()()xyyxxy当且仅当a＝b时等号成立，∴1a＋2b的最小值为94.考向一运用基本不等式求函数的最值例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）若33log21logabab，则2ab的最小值为（）A．6B．83C．3D．163【答案】C【解析】∵33log21logabab，∴33log21logabab3log3ab，∴23abab，且0a，0b，∴123ab，∴112223ababab122143baab5233baab52233baab3，当且仅当baab且123ab即1ab时，等号成立；故选：C．变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知0a，0b，若不等式41mabab恒成立，则m的最大值为（）A．10B．12C．16D．9【答案】D【解析】由已知0a，0b，若不等式41mabab恒成立，所以41()mabab恒成立，转化成求41()yabab的最小值，4144()5529babayabababab，所以9m．故选：D．变式2、(1)已知0x1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)已知x54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．(3)函数y＝x2＋2x－1(x1)的最小值为________．【答案】(1)23(2)1(3)23＋2【解析】(1)x(4－3x)＝13×(3x)·(4－3x)≤13×3x＋4－3x22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号．故所求x的值为23.(2)因为x54，所以5－4x0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，取等号．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.(3)y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－2＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时，取等号．方法总结：(1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．考向二基本不等式中1的运用例2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数fx在R上单调,若正实数,ab满足490fafb，则11ab的最小值是()A．1B．92C．9D．18【答案】A【解析】奇函数fx在R上单调，490fafb，则499fafbfb故49ab即49ab11111141452451999baabababab当4baab即3,32ab时等号成立故选：A变式1、若正实数xy，满足1xy，则4yxy的最小值是▲．【答案】、8【解析】、因为正实数xy，满足1xy，所以4()444yyxyyxxyxyxy424448yxxy，当且仅当4yxxy，即2yx，又1xy，即12,33xy，等号成立，即4yxy取得最小值8.变式2、已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________．【答案】25【解析】、由于直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，所以a(b－3)＝2b，即2a＋3b＝1(a，b均为正数)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋3b＝13＋6ba＋ab≥13＋6×2ba×ab＝25(当且仅当ba＝ab即a＝b＝5时取等号)．变式3、已知正实数a，b满足a＋b＝1，则bbaa421222的最小值为．【答案】：.11【解析】、．1174274))(41()(24212421222baabbaabbabababbaabbaa当且仅当baab4，即3231ba时取“”，所以bbaa421222的最小值为.11方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代换的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法．(3)解决问题时关注对已知条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型考向三运用消参法解决不等式问题例3、(2017苏北四市期末）.若实数x，y满足xy＋3x＝30＜x＜12，则3x＋1y－3的最小值为________．【答案】.8【解析】、解法1因为实数x，y满足xy＋3x＝30＜x＜12，所以y＝3x－3(y＞3)，所以3x＋1y－3＝y＋3＋1y－3＝y－3＋1y－3＋6≥2y－3·1y－3＋6＝8，当且仅当y－3＝1y－3，即y＝4时取等号，此时x＝37，所以3x＋1y－3的最小值为8.解法2因为实数x，y满足xy＋3x＝30＜x＜12，所以y＝3x－3(y＞3)，y－3＝3x－6＞0，所以3x＋1y－3＝3x＋13x－6＝3x－6＋13x－6＋6≥23x－6·13x－6＋6＝8，当且仅当3x－6＝13x－6，即x＝37时取等号，此时y＝4，所以3x＋1y－3的最小值为8.变式1：（徐州、宿迁三检）若0,0ab，且11121abb+++，则2ab+的最小值为．【答案】：2312+【解析】、由已知等式得bbaabba222122，从而bbba212，bbbbba22122bb212321213243221，故有最小值2312+.变式2、设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．【答案】5－12【解析】、思路分析注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y较易，所以消去y.由x2＋2xy－1＝0得y＝1－x22x，从而x2＋y2＝x2＋1－x22x2＝5x24＋14x2－12≥2516－12＝5－12，当且仅当x＝±415时等号成立．变式3、已知正数,xyx，y满足111xy，求4911xyxy的最小值．【答案】：25【解析】、：法一:因为111yx，所以．4911xyxy49111xxy491xxx449191xx4139(1)1xx又因为1110yx，所以1x，即10x．所以4139113249251xx≥，当且仅当53x时取等号，所以4911xyxy的最小值为25．法二：4911xyxy491111xy4911yx94xy1194xyxy491325yxxy≥方法总结：当所求最值的代数式中的