【新高考复习】考点12 函数的图象（解析版）

考点12函数的图象【命题解读】关于函数图象的考查：（1）函数图象的辨识与变换。（2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力。【基础知识回顾】1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y＝f(x)的图象――――――→关于x轴对称y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象――――――――→关于y轴对称y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象――――――――→关于原点对称y＝－f(－x)的图象；y＝ax(a0，且a≠1)的图象――――――――――→关于直线y＝x对称y＝logax(a0，且a≠1)的图象.(3)伸缩变换y＝f(x)―――――――――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a0）倍y＝f(ax).y＝f(x)―――――――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A(A0)倍y＝Af(x).(4)翻折变换y＝f(x)的图象―――――――――――――――――→x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y＝|f(x)|的图象；y＝f(x)的图象―――――――――――――――――→y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变y＝f(|x|)的图象.[常用结论与微点提醒]1.记住几个重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x．而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3.图象的上下平移仅仅是相对于．．．y．而言的，利用“上减下加”进行.1、（2020届山东省泰安市高三上期末）函数3lnxfxx的部分图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】33lnln,xxfxfxfxxx，fx为奇函数，排除B当1x时，3ln0xfxx恒成立，排除CD故答案选A2、.(2020·深圳调研)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中ab)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()【答案】C【解析】由函数f(x)的图象知a1，－1b0.∴g(x)＝ax＋b在R上是增函数，且g(0)＝1＋b0.因此选项C满足要求.3、已知函数f(x)＝logax(0＜a＜1)，则函数y＝f(|x|＋1)的图象大致为()ABCD【答案】A【解析】先作出函数f(x)＝logax(0＜a＜1)的图象，当x0时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，∴再将函数y＝f(x＋1)(x0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x＜0时的图象．故选A.4、定义：在平面直角坐标系xOy中，若存在常数(0)，使得函数()yfx的图象向右平移个单位长度后，恰与函数()ygx的图象重合，则称函数()yfx是函数()ygx的“原形函数”．下列四个选项中，函数()yfx是函数()ygx的“原形函数”的是()A．f2()xx，2()21gxxxB．f()sinxx，()cosgxxC．f()xlnx，()gxln2xD．f1()()3xx，1()2()3xgx【答案】ABD【解析】由2()fxx，2()(1)gxx知，()fx向右移动一个单位可得到()gx，故选项A正确；由3()sin,()cossin()2fxxgxxx知，()fx向右移动32个单位可得到()gx，故选项B正确；由1(),()()22fxlnxgxlnxlnxln知，()fx项下移动2ln个单位可得到()gx，故选项C不正确；由31321211()()11133()(),()2()()13331()23xxxlogxxlogfxgx知，()fx向右移动3log2个单位可得到()gx，故选项D正确；故选：ABD．5、已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a＞0.(1)作出函数f(x)的图象；(2)写出函数f(x)的单调区间；(3)当x∈[0，1]时，由图象写出f(x)的最小值．【解析】(1)f(x)＝x（x－a），x≥0，－x（x－a），x＜0，其图象如图所示．(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，a2，＋∞；单调递减区间是0，a2.(3)由图象知，当a2＞1，即a＞2时，f(x)min＝f(1)＝1－a；当0＜a2≤1，即0＜a≤2时，f(x)min＝fa2＝－a24.综上，f(x)min＝－a24，0＜a≤2，1－a，a＞2.考向一作函数的图象例1、作出下列函数的图象：(1)(1)y＝2－2x；(2)y＝log13[3(x＋2)]；(3)y＝|log12(－x)|.【解析】：(1)作函数y＝2x的图象关于x轴对称的图象得到y＝－2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y＝2－2x的图象．如图1；(2)因为y＝log13[3(x＋2)]＝－log3[3(x＋2)]＝－log3(x＋2)－1.所以可以先将函数y＝log3x的图象向左平移2个单位，可得y＝log3(x＋2)的图象，再作图象关于x轴对称的图象，得y＝－log3(x＋2)的图象，最后将图象向下平移1个单位，得y＝－log3(x＋2)－1的图象，即为y＝log13[3(x＋2)]的图象．如图2；(3)作y＝log12x的图象关于y轴对称的图象，得y＝log12(－x)的图象，再把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得到y＝|log12(－x)|的图象．如图3.变式1、分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1;(4)y＝x＋2x－1．【解析】(1)y＝lgxx≥1，－lgx0x1图象如图①．(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②．(3)y＝x2－2x－1x≥0x2＋2x－1x0．图象如图③．(4)因y＝1＋3x－1，先作出y＝3x的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝x＋2x－1的图象，如图④．变式2、作出下列函数的图象：(1)y＝12x；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝2x－1x－1；(4)y＝x2－2|x|－1.【解析】(1)作出y＝12x的图象，保留y＝的图象中x≥0的部分，加上y＝的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分．①②(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即得函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.(3)∵y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函数图象可由y＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图③.(4)∵y＝22x21,021,0xxxxx≥，＜，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图④.③④方法总结：1.作函数图象的一般步骤为：(1)确定函数的定义域．(2)化简函数解析式．12x12x12x(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如极值点、与坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等)．(4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象．2．采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以显示图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图象．考向二图象的辨识例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）函数ln()xfxxx的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的定义域为(,0)(0,)，||||()()()lnxlnxfxxxfxxx，则函数()fx是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，当0x且0x，()fx，排除C.故选：A.变式1、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）函数2ln1cos2yxxx的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于210xx，所以()fx的定义域为R，因为2()ln(()1)cos(2)fxxxx2ln(1)cos2xxx21ln(1)cos2xxx2ln(1)cos2xxx()fx所以()fx为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A，B因为2ln1cos02222f，22()ln(1)cosln(1)1f，23333ln1cos02222f所以排除C故选：D变式2、（2020·浙江学军中学高三3月月考）函数f(x)=2sincosxxxx在[—π，π]的图象大致为A．B．C．D．【答案】D【解析】由22sin()()sin()()cos()()cosxxxxfxfxxxxx，得()fx是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f2()01f．故选D．变式3、（2020届山东省九校高三上学期联考）若函数yfx的大致图象如图所示，则fx的解析式可以为（）A．22xxxfxB．22xxxfxC．22xxfxxD．22xxfxx【答案】C【解析】对四个选项解析式分析发现B，D两个均为偶函数，图象关于y轴对称，与题不符，故排除；极限思想分析，0,222,022xxxxxx，A错误；220,222,xxxxxx，C符合题意.故选：C变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期末）函数yfx与ygx的图象如图所示，则yfxgx的部分图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图象可知yfx的图象关于y轴对称，是偶函数，ygx的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域0xx，yfxgx的定义域是0xx，并且是奇函数，排除B，又0,2x时，0fx，0gx，0fxgx，排除C,D.满足条件的只有A.故选：A方法总结：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项考向三函数图象的应用例3、（2020·全国高三专题练习（文））函数22log,1,1,1,xxfxfxx，若方程2fxxm有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．,4B．,4C．2,4D．2,4【答案】A【解析】令2gxxm,画出fx与gx的图象,平移直线,当直线经过1,2时只有一个交点,此时4m,向右平移,不再符合条件,故4m故选：A变式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知31log3aa