【新高考复习】考点13 指数与对数的运算（原卷版）

考点13指数与对数的运算【命题解读】学生应指数幂的含义及运算法则，实数指数幂的意义；理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；【基础知识回顾】1．根式(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a＜0.2．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q．3．对数的概念如果ab＝N(a0且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．4．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④malogMn＝nmlogaM．(2)对数的性质①Naalog＝__N__；②logaaN＝__N__(a0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logaN＝logcNlogcb(a，c均大于零且不等于1)；②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝logad．1、设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是A．B．C．()logogglloaaabcbcD．2、23(log9)(log4)=A．14B．12C．2D．43、化简4a23·b－13÷－23a－13b23的结果为()A．－2a3bB．－8abC．－6abD．－6ab4、(多选)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是()A．a2＋a－2＝7B．a3＋a－3＝18C．a12＋a－12＝±5D．aa＋1aa＝255、lg5lg20的值是____________．6、计算：log5[412log210－(33)23－7log72]＝________．7、（2012北京）已知函数()lgfxx，若()1fab，则22()()fafb．考向一指数幂的运算例1化简下列各式(其中各字母均为正数)．(1)－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0·logloglogaccbab·loglologgaaabab()loggogollaaabbcc(2)a3b23ab2（a14b12）4a－13b13(a0，b0)(3)1253[(0.064)2.5]3338－π0；(4)12112133265ababab变式1、．计算下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）．．变式2、已知1122xx＝3，求22332223xxxx的值．方法总结：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，这时要注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．考向二对数的运算例1、（1）化简：lg2＋lg5－lg8lg50－lg40＝________．（2）化简：45.0log32＝________．（3）设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于()A.100B.10C.2log10D.10．变式1、化简下列各式：(1)12lg25＋lg2＋lg10＋lg(0.01)－1；(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；(3)计算(log32＋log92)·(log43＋log83)；（4）2log32－log3329＋log38－3log55；变式2、(1)2log32－log3329＋log38－5log35；(2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．方法总结：对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例如：(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考向三指数是与对数式的综合例3(1)已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：2a＋1b＝2c；(2)若60a＝3，60b＝5，求12(1)12abb的值．变式1、设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于________.方法总结：这是一道关于指数式与对数式的混合问题，求解这类问题，以下两点值得关注：1.根据对数的定义，对数式与指数式能够相互转化，其解答过程体现了化归与转化的数学思想，其核心是化生为熟、化难为易、化繁为简，困难之处在于将指数由“高”降“低”，便于进一步计算，这是指、对数运算经常使用的方法．1、（2013浙江）已知为正实数，则A．B．C．D．2、（2020全国Ⅰ文8）设3log42a，则4a（）A．116B．19C．18D．163、（2017新课标Ⅰ）设,,xyz为正数，且235xyz，则A．235xyzB．523zxyC．352yzxD．325yxz4、（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为8010．则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0．48）A．3310B．5310C．7310D．9310yx,yxyxlglglglg222lg()lglg222xyxyyxyxlglglglg222lg()lglg222xyxy5、（2020全国Ⅰ理12）若242log42logabab，则（）A．2abB．2abC．2abD．2ab6、化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；(2)56a13·b－2·－3a－12b－1÷4a23·b－312.