【新高考复习】考点14 指数函数（解析版）

考点14指数函数【命题解读】在高考中指数函数部分往往与其他知识点交汇考查，也常与函数的图像结合考查。重点考查与此有关的性质。【基础知识回顾】．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1(4)当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1(5)当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数[常用结论]1．指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．1、设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a【答案】C【解析】因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5＜a＝0.60.6＜1.又c＝1.50.6＞1，所以b＜a＜c.2、函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a1，b0B.a1，b0C.0a1，b0D.0a1，b0【答案】D【解析】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b0.3、若函数y＝(a2－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A.1a2B.－2a－1C.1a2，或－2a－1D.22a1，或1a2【答案】C【解析】由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0a2－11，∴1a22，即1a2或－2a－1.∴数a的取值范围是1a2或－2a－1.故选C.4、已知函数f(x)＝ax－3＋2的图像恒过定点A，则A的坐标为．【答案】(3，3)【解析】由a0＝1知，当x－3＝0，即x＝3时，f(3)＝3，即图像必过定点(3，3)．5、函数的值域为（）A．B．C．（0，]D．（0，2]【答案】A【解析】令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y故选：A．考向一指数函数的性质与应用例1、（1）．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0．53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜b＜c．（2）．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（）A．3B．13C．-5D．3或13．（3）．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．【解析】（1）．B由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，即f(x)＝2|x|－1，其图象过原点，且关于y轴对称，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又a＝f(log0．53)＝f(－log23)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(0)，且0＜log23＜log25，所以c＜a＜b．（2）．D令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2．当a＞1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈1a，a，又函数y＝(t＋1)2－2在1a，a上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．当0＜a＜1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈a，1a，又函数y＝(t＋1)2－2在a，1a上单调递增，则ymax＝1a＋12－2＝14，解得a＝13(负值舍去)．综上知a＝3或a＝13．（3）令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间m2，＋∞上单调递增，在区间－∞，m2上单调递减，而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．变式1、（1）函数f(x)＝22112xx的单调减区间为．（2）(一题两空)已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．（3）（2019·福建泉州五中模拟）设a0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为________．【答案】（1）(－∞，1]（2）(1，＋∞)f(－4)＞f(1)（3）13或3【解析】（1）设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝12a在R上为减函数，∴函数f(x)＝22112xx的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴f(x)的减区间为(－∞，1]．（2）因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a＞1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)＞f(1)．（3）令t＝ax(a0，且a≠1)，则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t0)．①当0a1，x∈[－1，1]时，t＝ax∈a，1a，此时f(t)在a，1a上为增函数．所以f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.所以1a＋12＝16，解得a＝－15(舍去)或a＝13.②当a1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈1a，a，此时f(t)在1a，a上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．综上得a＝13或3.变式2、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】不等式23122xx的解集为_______.【答案】(﹣1，2)【解析】由题23122xx则2311222xx，故23112xxx故填(﹣1，2)变式3、设函数f(x)＝12x－7，x0，x，x≥0，若f(a)1，则实数a的取值范围是；【答案】(－3，1)【解析】当a0时，不等式f(a)1可化为12a－71，即12a8，即12a312，∴a－3.又a0，∴－3a0.当a≥0时，不等式f(a)1可化为a1.∴0≤a1，综上，a的取值范围为(－3，1)．变式4、(2020·包头模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝4x，x≥0，2a－x，x0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______.【答案】12.【解析】(1)当a1时，41－a＝21，解得a＝12；当a1时，代入不成立.故a的值为12.方法总结：指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数0a1和a1两种情形进行分类讨论，防止错解考向二指数函数的图像与性质例2、如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图像交于A，B两点，过点B作y轴的垂线交函数y＝4x的图像于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．【答案】(1,2)．【解析】设C(a,4a)，则A(a,2a)，B(2a,4a)．又O，A，B三点共线，所以2aa＝4a2a，故4a＝2·2a，所以2a＝0(舍去)或2a＝2，即a＝1，所以点A的坐标是(1,2)．变式1、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点O的直线与函数3xy的图象交于A、B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数9xy的图象于C点，当BC∥x轴，点A的横坐标是【答案】3log2【解析】根据题意，可设点,3aAa，则,9aCa,由于BC∥x轴，故9aCByy，代入3xy，可得2Bxa，即2,9aBa，由于A在线段OB上，故OAOBkk，即392aaaa，解得3log2a.变式2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知31log3aa，133logbb，131log3cc，则a，b，c的大小关系是()A．cbaB．abcC．bcaD．bac【答案】C【解析】在同一直角坐标系内，作出函数13xy，3logyx，3xy，13logyx的图像如下：因为31log3aa，133logbb，131log3cc，所以a是13xy与3logyx交点的横坐标；b是3xy与13logyx交点的横坐标；c是13xy与13logyx交点的横坐标；由图像可得：bca.故选：C.变式3、（2019·广西北海一中月考）函数y＝ax－1a(a0，且a≠1)的图象可能是()【答案】D【解析】当a1时，y＝ax－1a是增函数．当x＝0时，y＝1－1a∈(0，1)，A，B不满足．当0a1时，y＝ax－1a在R上是减函数．当x＝0时，y＝1－1a0，C错，D项满足．变式4、已知f(x)＝|2x－1|.(1)求f(x)的单调区间；(2)比较f(x＋1)与f(x)的大小；(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x2的零点的个数．【解析】(1)由f(x)＝|2x－1|＝2x－1，x≥0，1－2x，x0可作出函数的图像如图所示．因此函数f(x)的单调减区间是(－∞，0)上，单调增区间是(0，＋∞)．(2)在同一坐标系中，分别作出函数f(x)、f(x＋1)的图像如图所示．由图像知，当012x－1＝1－02x，即x0＝log223时，两图像相交，当x22log3时，f(x)f(x＋1)；当x＝22log3时，f(x)＝f(x＋1)；当x22log3时，f(x)f(x＋1)．(3)将g(x)＝f(x)－x2的零点个数问题转化为函数f(x)与y＝x2的图像的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f(x)＝|2x－1|和y＝x2的图像(如图所示)，有四个交点，故g(x)有四个零点．方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用．(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解．考向三指数函数