【新高考复习】考点15 对数函数（解析版）

考点15对数函数【命题解读】1、理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；2、对数函数图象常结合着零点问题、复合函数问题等综合考察，则为较难题【基础知识回顾】1、对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象与性质底数a10a1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0当x1时，恒有y0；当0x1时，恒有y0当x1时，恒有y0；当0x1时，恒有y0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a1和0a1两种情况进行讨论2、反函数指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数的图象与底数大小的比较3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1、函数f(x)＝log2(－x2＋22)的值域为()A.－∞，32B.－∞，32C.32，＋∞D.32，＋∞【答案】B【解析】由题意可得－x2＋220，即－x2＋22∈(0，22]得所求函数值域为－∞，32.故选B.2、当a1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为()【答案】C．[来源:学。科。网]【解析：y＝a－x＝1ax，∵a1，∴01a1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0).故选C.3、不等式log12(2x＋3)log12(5x－6)的解集为()A.(－∞，3)B.－32，3C.－32，65D.65，3【答案】D【解析：由题意可得2x＋30，5x－60，2x＋35x－6，解得65x3.4、(2018苏州期末）已知4a＝2，logax＝2a，则正实数x的值为________．【答案】12【解析】由4a＝2，得22a＝21，所以2a＝1，即a＝12.由log12x＝1，得x＝121＝12.5、(2018盐城三模）．函数()ln(13)fxx的定义域为▲．【答案】(2,3]【解析】由题意，130x，即31x，即031x，解得23x.6、已知表中的对数值有且只有一个是错误的．x35689lgx2a－ba＋c－11＋a－b－c3(1－a－c)2(2a－b)试将错误的对数值加以改正为________．【答案】lg5＝a＋c【解析：由2a－b＝lg3，得lg9＝2lg3＝2(2a－b)，从而lg3和lg9正确，假设lg5＝a＋c－1错误，由1＋a－b－c＝lg6＝lg2＋lg3，31－a－c＝lg8＝3lg2，得lg2＝1－a－c，lg3＝2a－b，所以lg5＝1－lg2＝a＋c．因此lg5＝a＋c－1错误，正确结论是lg5＝a＋c．考向一对数函数的性质及其应用例1、（1）函数y＝2－log2x的定义域是（）A.0,4B.,4C.0,D.0,1．（2）设函数f(x)＝log2x，x＞0，log12（－x），x＜0.若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．（3）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．【答案】（1）A．（2）(－1，0)∪(1，＋∞)．（3）[1，2)【解析】（1）由2－log2x≥0，得log2x≤2＝log222，解得0＜x≤4．∴所求定义域是(0，4]．（2）由题意可得a＞0，log2a＞－log2a或a＜0，log12（－a）＞log2（－a），解得a＞1或－1＜a＜0．∴a的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．（3）．令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴x＝a，要使函数在上(－∞，1]递减，则有g（1）＞0，a≥1，，即2－a＞0，a≥1，，解得1≤a＜2，即a∈[1，2)．变式1、（1）函数的定义域为（）A．B．C．D．（2）已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b（3）设函数f(x)＝log2x，x＞0，log12（－x），x＜0.若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)【答案】（1）B（2）D（3）C【解析】（1）由已知得，解得.故选B（2）因为c＝log1213＝log23log2e＝a，所以c＞a.因为b＝ln2＝1log2e＜1＜log2e＝a，所以a＞b.所以c＞a＞b.（3）由题意得a＞0，log2a＞－log2a或a＜0，－log2（－a）＞log2（－a），解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.变式2、（1）已知是偶函数，则（）A．B．C．D．（2）（2020·浙江衢州·期中）已知，，，则（）0.22a2log0.2b0.2log0.3cA．B．C．D．【答案】（1）C（2）C【解析】（1）∵是偶函数，∴∴∴∴，函数为增函数，∵，∴故选：C（2）：，，，且，所以，，，故.故选：C方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数0a1和a1两种情形进行分类讨论，防止错解．考向二对数函数的图像及其应用例1、（1）已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图，给出以下结论正确的是（）A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1；C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜1．（2）当0＜x≤12时，4x＜logax，则a的取值范围是（）A.20,2B.2,12C.2,2D.1,12．abcacbbcacab0.20221a22log0.2log10b0.20.2log0.3log0.21c0.20.2log0.3log101a0b01cbca（3）若函数f(x)＝－x＋6，x≤2，3＋logax，x＞2(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．【答案】（1）C（2）B（3）1＜a≤2．【解析】（1）由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a＜1．又当x＝0时，y＞0，即logac＞0，所以0＜c＜1．（2）由题意得，当0＜a＜1时，要使得4x＜logax0＜x≤12，即当0＜x≤12时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．又当x＝12时，412＝2，即函数y＝4x的图象过点12，2．把点12，2代入函数y＝logax，得a＝22．若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需22＜a＜1(如图所示)．当a＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是22，1．（3）．由题意f(x)的图象如下图，则a＞1，3＋loga2≥4，∴1＜a≤2．变式1、函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为()【答案】A【解析】令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C、D.由对数函数的单调性及函数y＝2－|x|的单调性知A正确．变式2、关于函数()||2||fxlnx下列描述正确的有()A．函数()fx在区间(1,2)上单调递增B．函数()yfx的图象关于直线2x对称C．若12xx，但12()()fxfx，则124xxD．函数()fx有且仅有两个零点【答案】ABD．【解析】函数()||2||fxlnx的图象如下图所示：由图可得：函数()fx在区间(1,2)上单调递增，A正确；函数()yfx的图象关于直线2x对称，B正确；若12xx，但12()()fxfx，则124xx，C错误；函数()fx有且仅有两个零点，D正确．故选：ABD．变式3、（2020·浙江月考）已知函数y=sinax+b(a0)的图像如图所示，则函数y=loga(x+b)的图像可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据函数的图象求出、的范围，从而得到函数的单调性及图象特征，从而得出结论．详解：由函数的图象可得，，故函数是定义域内的减函数，且过定点.结合所给的图像可知只有C选项符合题意.故选：C.方法总结：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．考向三对数函数的综合及应用例3、关于函数f(x)＝ln1－x1＋x，下列说法中正确的有()A．f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．f(x)为奇函数C．f(x)在定义域上是增函数D．对任意x1，x2∈(－1,1)，都有f(x1)＋f(x2)＝fx1＋x21＋x1x2【答案】BD【解析】函数f(x)＝ln1－x1＋x＝ln21＋x－1，sin(0)yaxbaablog()ayxbsin(0)yaxba201,23ba213alog()ayxb(1,0)b其定义域满足(1－x)(1＋x)＞0，解得－1＜x＜1，∴定义域为{x|－1＜x＜1}．∴A不对．由f(－x)＝ln1＋x1－x＝ln1－x1＋x－1＝－ln1－x1＋x＝－f(x)，是奇函数，∴B对．函数y＝21＋x－1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，∴f(x)在定义域内是减函数，C不对．f(x1)＋f(x2)＝ln1－x11＋x1＋ln1－x21＋x2＝ln1－x11＋x1×1－x21＋x2＝fx1＋x21＋x1x2.∴D对．变式1、(多选)已知函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f(1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的说法为()A．h(x)的图象关于原点对称B．h(x)的图象关于y轴对称C．h(x)的最大值为0D．h(x)在区间(－1,1)上单调递增【答案】BC【解析】函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，∴f(x)＝log2x，h(x)＝log2(1－|x|)，为偶函数，不是奇函数，∴A错误，B正确；根据偶函数性质可知D错误；∵1－|x|≤1，∴h(x)≤log21＝0，故C正确．变式2、已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x．(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f(x)k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．【解析】(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，故函数h(x)的值域为[0,2]．(2)由f(x2)·f(x)k·g(x)得(3－4log2x)(3－log2x)k·