【新高考复习】考点17 函数与方程（解析版）

考点17函数与方程【命题解读】函数零点以及求参数范围等问题时高考重点考查的内容，不仅在大题中体现，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上。【基础知识回顾】1、函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)＝0有实根．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立．2、二分法对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值．3、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图像与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图像交点(x1，0),_(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2104、有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．1、若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（）A.0或－12B.0C.－12D.0或12【答案】A【解析】由已知得b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－12．2、函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】因为函数y＝2x，y＝x3在R上均为增函数，故函数f(x)＝2x＋x3－2在R上为增函数，又f(0)＜0，f(2)＞0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内只有一个零点．3、若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是（）A.15，＋∞B.－1，15C.(－∞，－1)D.(－∞，－1)∪15，＋∞【答案】D【解析】当a＝0时，f(x)＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内是单调函数，所以f(－1)·f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－1或a＞15．4、函数f(x)＝lnx－x2＋2x，x＞0，4x＋1，x≤0的零点个数是________．【答案】3【解析】当x＞0时，令g(x)＝lnx，h(x)＝x2－2x．画出g(x)与h(x)的图象如图：故当x＞0时，f(x)有2个零点．当x≤0时，由4x＋1＝0，得x＝－14，综上函数f(x)的零点个数为3．5、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x．则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为________．【答案】{－2－7，1，3}【解析】当x≥0时，f(x)＝x2－3x，令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1．当x0时，－x0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)，∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x．令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，得x3＝－2－7，x4＝－2＋70(舍)，∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合是{－2－7，1，3}．7、(一题两空)已知函数f(x)＝1x，x≥1，x3，x＜1，若f(x0)＝－1，则x0＝________；若关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点，则实数k的取值范围是________．【答案】－1(0，1)【解析】解方程f(x0)＝－1，得x≥1，1x0＝－1或x0＜1，x30＝－1，解得x0＝－1.关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点等价于y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点，观察图象可知：当0＜k＜1时y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点．即k∈(0，1)．考向一判断零点所在的区间例1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数312xfxx的零点所在区间为（）A．1,0B．10,2C．1,12D．1,2【答案】C【解析】311(1)(1)()302f，301(0)0()102f，13211112()()()022282f，31111(1)1()10222f，321115(2)2()80222f，由1102ff.故选：C变式1、（1）若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)（2）已知函数f(x)＝lnx－212x的零点为x0，则x0所在的区间是()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)（3）若x0是方程12x＝x13的解，则x0属于区间()A.23，1B.12，23C.13，12D.0，13【答案】（1）A（2）C.（3）C【解析】（1）∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.(2)∵f(x)＝lnx－212x在(0，＋∞)为增函数，又f(1)＝ln1－112＝ln1－20，f(2)＝ln2－0120，f(3)＝ln3－1120，∴x0∈(2，3)．（3）令g(x)＝12x，f(x)＝x13，则g(0)＝1＞f(0)＝0，g12＝1212＜f12＝1213，g13＝1213＞f13＝1313，结合图象可得13＜x0＜12.方法总结：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.考向二判断零点的个数例2、（1）函数f(x)＝1212xx的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4（2）若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是（）A.1B.2C.3D.4（3）(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝0，0＜x≤1，|x2－4|－2，x＞1，则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．【解析】（1）．A因为y＝x12在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝12x在x∈R上单调递减，所以f(x)＝x12－12x在x∈[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝－1＜0，f(1)＝12＞0，所以f(x)＝x12－12x在定义域内有唯一零点．（2）．D由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．（3）．令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝－lnx，0＜x≤1，－x2＋lnx＋2，1＜x＜2，x2＋lnx－6，x≥2，当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋1x＝1－2x2x＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示．由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4．变式1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上43,432,2)(xxxxxf则函数xxfylog5)(的零点的个数为【答案】：5【解析】：因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由y＝f(x)－log5|x|＝0，得f(x)＝log5|x|，分别画出y＝f(x)和y＝log5|x|的图像，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log571，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.变式2、（1）(2019·十堰调研)已知函数f(x)＝ln（x－1），x1，2x－1－1，x≤1，则f(x)的零点个数为()A．0B．1C．2D．3（2）(2020·惠州质检)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】（1）C（2）C【解析】（1）当x1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2；当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.故选C.（2）由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x0)，y＝lnx(x0)的图象，如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.方法总结：函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.考向三与零点有关的参数的范围例3、（1）已知函数f(x)＝2x3＋3x2＋m，0≤x≤1，mx＋5，x1，若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．（2）（2014·江苏卷）已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝x2－2x＋12．若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．【答案】（1）(－5，0)（2）0，12【解析】（1）．当x∈(0，1)时，f′(x)＝6x2＋6x0，则f(x)＝2x3＋3x2＋m在[0，1]单调递增，又函数f(x)的图象与x轴有且仅有两个不同的交点，所以在区间[0，1]和(1，＋∞)上分别有一个交点，则f(1)＝m0，且f(1)＝m＋50，解得－5m0．（2）．作出函数y＝f(x)与y＝a的图象，根据图象交点个数得出a的取值范围．作出函数y＝f(x)在[－3，4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝12，观察图象可得0a12．变式1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰