【新高考复习】考点18 函数模型及其运用（解析版）

考点18函数模型及其运用【命题解读】函数模型做为考查内容之一，涉及到一些常见的函数如一元二次函数、指数函数、对数函数等，考查中常见小题的形式出现。【基础知识回顾】1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)3.解函数应用题的步骤第一步：阅读理解题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步：引用数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答．1、某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为(C)(参考数据lg2＝0.3010，lg5＝0.699)A.10B.12C.14D.16【答案】C【解析】由题意可得(1－20%)n5%.解得nlog0.80.05≈13.42，故至少过滤14次．故选C.2、小孟进了一批水果，如果他以每千克1.2元的价格出售，那他就会赔4元，如果他以每千克1.5元的价格出售，一共可赚8元．现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为(B)A.1.1元B.1.3元C.1.5元D.2.0元【答案】B【解析】设共有水果x千克，则1.2x＋4＝1.5x－8，得x＝40，不赔不赚的价格为40×1.2＋440＝1.3元．故选B.3、下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是（）A．一次函数模型B．幂函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型．x45678910y15171921232527【答案】：A【解析】：根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．4、某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是（）ABCD【答案】：A【解析】：前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，总产量增加，故①正确，③错误．5、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为（）m．A．400B．12C．20D．30【答案】：C【解析】：设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得x40＝40－y40，0x40，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400．6、一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（）min，容器中的沙子只有开始时的八分之一A．24B．12C．18D．16【答案】：D【解析】：当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝12a，∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝btae＝18a，btae＝18＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min．考向一二次函数模型例1、A，B两城相距100km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km．已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0．25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？【解析】：(1)由1010010100-100xx得x的取值范围为10≤x≤90．(2)y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．(3)因为y＝5x2＋52(100－x)2＝152x2－500x＋25000＝152x－10032＋500003，所以当x＝1003时，ymin＝500003．故核电站建在距A城1003km处，能使供电总费用y最少．变式1、某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)万元，当年产量不足80千件时，C(x)＝13x2＋10x(万元)；当年产量不少于80千件时，C(x)＝51x＋10000x－1450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解析】(1)当0x80，x∈N*时，L(x)＝500×1000x10000－13x2－10x－250＝－13x2＋40x－250；当x≥80，x∈N*时，L(x)＝500×1000x10000－51x－10000x＋1450－250＝1200－(x＋10000x)，∴L(x)＝2**140250,080,,3100001200(),80,.xxxxNxxxNx(2)当0x80，x∈N*时，L(x)＝－13(x－60)2＋950，∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950．当x≥80，x∈N*时，L(x)＝1200－(x＋10000x)≤1200－2x·10000x＝1200－200＝1000，∴当x＝10000x，即x＝100时，L(x)取得最大值L(100)＝1000950．综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．方法总结：在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域之间的位置关系讨论求解．考向二指数函数、对数函数模型例2、诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6．24%．资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)．(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1．03129＝1．32)【解析】：(1)由题意知，f(2)＝f(1)(1＋6．24%)－12f(1)·6．24%＝f(1)(1＋3．12%)，f(3)＝f(2)(1＋6．24%)－12f(2)·6．24%＝f(2)(1＋3．12%)＝f(1)(1＋3．12%)2，∴f(x)＝19800(1＋3．12%)x－1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3．12%)9＝26136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12f(10)·6．24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．变式1、（2019秋•菏泽期末）如图，某湖泊的蓝藻的面积y（单位：2)m与时间t（单位：月）的关系满足tya，则下列说法正确的是()A．蓝藻面积每个月的增长率为100%B．蓝藻每个月增加的面积都相等C．第6个月时，蓝藻面积就会超过260mD．若蓝藻面积蔓延到22m，23m，26m所经过的时间分别是1t，2t，3t，则一定有123ttt【答案】ACD．【解析】：由图可知，函数tya图象经过(1,2)，即12a，则2a，2ty；1222ttt不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100%，A对、B错；当6t时，626460y，C对；若蓝藻面积蔓延到22m，23m，26m所经过的时间分别是1t，2t，3t，则31222,23,26ttt，1212222236tttt，则123ttt，D对；故选：ACD．方法总结：此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解考向三分段函数模型例3、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【解析】(1)由题意可知当0≤x20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，显然v(x)＝ax＋b在[20，200]上是减函数，由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝0，解得a＝－13，b＝2003，故函数v(x)的表达式为v(x)＝60，0≤x20，13（200－x），20≤x≤200.(2)依题意并由(1)可得f(x)＝60x，0≤x20，13x（200－x），20≤x≤200.当0≤x20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13x＋（200－x）22＝100003，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立，∴当x＝100时，f(x)在区间[20，200]上取得最大值100003.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3333辆/小时．变式1、某旅游景点预计2017年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝12x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝35－2x（x∈N*，且1≤x≤6），160x（x∈N*，且7≤x≤12）.(1)写出2017年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；(2)试问2