【新高考复习】考点20 导数的概念及其运算（解析版）

考点20导数的概念及其运算【命题解读】从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.【基础知识回顾】1.导数的概念设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)．2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xαf′(x)＝αxα－1续表基本初等函数导函数f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a0)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1xf(x)＝logax(a0，且a≠1)f′(x)＝1xlna4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f（x）g（x）＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）g2（x）(g(x)≠0)．5.复合函数的求导法则(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1、下列求导结果正确的是（）A．21'12xxB．cos30'sin30C．1ln2'2xxD．33'2xx【答案】D【解析】对于A，2(1)2xx，故A错误；对于B，(cos30)0，故B错误；对于C，11[(2)](2)2lnxxxx，故C错误；对于D，3132233()22xxxx，故D正确．故选：D．2、若()ln2xfxex，则()fx（）A．ln22xxeexxB．ln2xxeexxC．ln2xxeexxD．12xex【答案】C【解析】()ln2(ln2)xxfxexexln2xxeexx．故选：C．3、（2020·广东肇庆市·高三月考）已知函数1()elnxfxxx，则1f（）A．0B．1C．eD．2【答案】D【解析】因为1()elnxfxxx，所以111()elne1lnxxfxxxxx，所以11(1)e1ln12f，故选：D4、设M为曲线C：y＝2x2＋3x＋3上的点，且曲线C在点M处切线倾斜角的取值范围为3π4，π，则点M横坐标的取值范围为(D)A.[)－1，＋∞B.－∞，－34C.－1，－34D.－1，－34【答案】D【解析】、由题意y′＝4x＋3，切线倾斜角的范围是34π，π，则切线的斜率k的范围是[)－1，0，∴－1≤4x＋30，解得－1≤x－34.故选D.5、下列求导过程正确的选项是()A.1x′＝1x2B．(x)′＝12xC．(xa)′＝axa－1D．(logax)′＝lnxlna′＝1xlna【答案】BCD【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，1x′＝(x－1)′＝－1x2，A错误；对于B，(x)′＝12()x＝12×12x＝12x，B正确；对于C，(xa)′＝axa－1，C正确；对于D，(logax)′＝lnxlna′＝1xlna，D正确；则B，C，D正确．6、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若曲线(1)xyaxe在(0,1)处的切线斜率为-1，则a___________.【答案】2【解析】,((1)1)xxyyaxeaxae，011,2xyaa.故答案为:-2.7、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知aR，设函数()lnfxaxx的图象在点（1，(1)f）处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.【答案】1【解析】函数f(x)=ax−lnx,可得1'fxax,切线的斜率为：'11kfa，切点坐标(1,a),切线方程l为：y−a=(a−1)(x−1)，l在y轴上的截距为：a+(a−1)(−1)=1.故答案为1.考向一基本函数的导数例1、求下列函数的导数(1)2(34)21yxxx；(2)31yxx=+；(3)lnxyex=；(4)tanyx=；(5)2ln1xyx；(6)2ln(15)xyx=+-．【解析】(1)∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，∴218104yxx.(2)322132yxx；(3)1lnxyexx；(4)21cosyx；(5)ylnx′x2＋1－lnxx2＋1′x2＋12＝1xx2＋1－2xlnxx2＋12＝x2＋1－2x2lnxxx2＋12；(6)52ln251xyx.变式1、求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋1x；(3)y＝cosxex.【解析】、(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝lnx＋1x′＝(lnx)′＋1x′＝1x－1x2.(3)y′＝cosxex′＝cosx′ex－cosxex′ex2＝－sinx＋cosxex.变式2、求下列函数的导数：(1)f(x)＝x2＋xex；(2)f(x)＝x3＋2x－x2lnx－1x2；(3)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2.【解析】、(1)f′(x)＝（2x＋1）ex－（x2＋x）ex（ex）2＝1＋x－x2ex.(2)由已知f(x)＝x－lnx＋2x－1x2.∴f′(x)＝1－1x－2x2＋2x3＝x3－x2－2x＋2x3.(3)∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin4x，∴y′＝－12sin4x－12x·4cos4x＝－12sin4x－2xcos4x.方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元考向二求导数的切线方程例2、(1)函数ln2()xxfxx的图象在点(1,2)P处的切线方程为__________．(2)函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，2)C．(2，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】(1)x－y－3＝0(2)B【解析】(1)f′(x)＝1－lnxx2，则f′(1)＝1，故该切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.（2）函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．所以f′(x)＝1x＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－1x.因为x0，所以2－1x2，所以a的取值范围是(－∞，2)．变式1、(1)已知曲线S：y＝－23x3＋x2＋4x及点P(0，0)，那么过点P的曲线S的切线方程为____．(2)已知函数f(x)＝xlnx，过点A(－1e2，0)作函数y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．【答案】（1）y＝4x或y＝358x（2）x＋y＋1e2＝0【解析】(1)设过点P的切线与曲线S切于点Q(x0，y0)，则过点Q的曲线S的切线斜率为k＝y′|x＝x0＝－2x20＋2x0＋4，又当x0≠0时，kPQ＝y0x0，∴－2x20＋2x0＋4＝y0x0.①∵点Q在曲线S上，∴y0＝－23x30＋x20＋4x0.②将②代入①得－2x20＋2x0＋4＝－23x30＋x20＋4x0x0，化简，得43x30－x20＝0，∴x0＝34或x0＝0，当x0＝34时，则k＝358，过点P的切线方程为y＝358x.当x0＝0时，则k＝4，过点P的切线方程为y＝4x，故过点P的曲线S的切线方程为y＝4x或y＝358x.(2)设切点为T(x0，y0)，则kAT＝f′(x0)，∴x0lnx0x0＋1e2＝lnx0＋1，即e2x0＋lnx0＋1＝0.设h(x)＝e2x＋lnx＋1，则h′(x)＝e2＋1x，当x0时，h′(x)0，∴h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴h(x)＝0最多只有一个根.又h1e2＝e2×1e2＋ln1e2＋1＝0，∴x0＝1e2.由f′(x0)＝－1得切线方程是x＋y＋1e2＝0.变式2、已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．【解析】(1)由函数f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y＝f(x)上，∴f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)(方法1)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又∵直线l过点(0，0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理得x30＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，故直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(方法2)设直线l的方程为y＝kx，切点坐标为(x0，y0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0.又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x20＋1，解得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵曲线f(x)的某一切线与直线y＝－x4＋3垂直，∴该切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1，∴x0＝1，y0＝－14或x0＝－1，y0＝－18.故切线方程为y－(－14)＝4(x－1)或y－(－18)＝4(x＋1)，即y＝4x－18或y＝4x－14.方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导