【新高考复习】考点23 导数的应用（解析版）

考点23导数的应用【命题解读】从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力【基础知识回顾】1、逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等式解决问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．(1)对数形式：x≥1＋lnx(x0)，当且仅当x＝1时，等号成立．(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：exx＋1x1＋lnx(x0，且x≠1)．2、一般地，若af(x)对x∈D恒成立，则只需af(x)max；若af(x)对x∈D恒成立，则只需af(x)min.若存在x0∈D，使af(x0)成立，则只需af(x)min；若存在x0∈D，使af(x0)成立，则只需af(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围．分类讨论法：常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数．提示：求解参数范围时，一般会涉及分离参数法，理科试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常需要设出导函数的零点，难度较大．[判断、证明或讨论函数零点个数的方法]利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)0.3、数学模型及数学建模数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．4、常见的函数模型①一次函数；②二次函数；③指(对)数函数、幂函数．三种增长型函数模型的性质函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax解函数应用题的步骤第一步：阅读理解题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步：引用数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答．1、有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，若围墙厚度不计，则围成的矩形最大面积为()第2题图A.2500m2B.2750m2C.3000m2D.3500m2【答案】、A【解析】设矩形的长为xm，宽为200－x4m，则S＝x·200－x4＝14(－x2＋200x)，其中0x200.当x＝100时，Smax＝2500m2.故选A.2、已知不等式ex≥x＋1对∀x∈R恒成立．以下命题中真命题是()A．对∀x∈R，不等式e－x1－x恒成立B．对∀x∈(0，＋∞)，不等式ln(x＋1)x恒成立C．对∀x∈(0，＋∞)，且x≠1，不等式lnxx－1恒成立D．对∀x∈(0，＋∞)，且x≠1，不等式lnxx＋1＋1xlnxx－1恒成立【答案】ABCD【解析】由ex≥x＋1对∀x∈R恒成立，结合对称性可知，对∀x∈R，不等式e－x1－x恒成立，故A正确；由ex≥x＋1，且x∈(0，＋∞)，两边取对数，得xln(x＋1)，即ln(x＋1)x，故B正确；令f(x)＝lnx－x＋1，则f′(x)＝1x－1＝1－xx，当x∈(0,1)时，f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)max＝f(1)＝0，则lnx－x＋10，即lnxx－1，故C正确；当x∈(0，＋∞)，且x≠1时，不等式lnxx＋1＋1xlnxx－1等价于2lnxx2－1－1x0，即1x2lnxx2－1，若x∈(0,1)，则x2－12xlnx，令g(x)＝x2－12x－lnx，g′(x)＝4x2－2x2＋24x2－1x＝x－122x20，∴g(x)在(0,1)上为增函数，则g(x)g(1)＝0，即x2－12xlnx.若x∈(1，＋∞)，则x2－12xlnx，令g(x)＝x2－12x－lnx，g′(x)＝4x2－2x2＋24x2－1x＝x－122x20，∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数，则g(x)g(1)＝0，即x2－12xlnx.∴不等式lnxx＋1＋1xlnxx－1恒成立．D正确．故选ABCD.3、已知(3),[0,3]()31,(3,)xxxfxxx，若函数()yfxm恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为【答案】9[1,)4m，【解析】：从形的角度，转化为函数()yfx的图象（如图）与ym的图象交点个数。画图象时注意31,(3,)yxx的渐进性．3、将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝梯形的周长2梯形的面积，则S的最小值是________．【答案】、3233【解析】如图，设CD＝x(0x1)，则C梯形DEBA＝x＋2(1－x)＋1＝3－x，S梯形DEBA＝x＋1232－32x＝34(1－x2)．所以S＝梯形的周长2梯形的面积＝43－x231－x2(0x1)，则S′＝－8x－33x－131－x22.令S′＝0，解得x1＝3(舍去)，x2＝13，所以S在0，13上单调递减，在13，1上单调递增，故当x＝13时，S取得最小值3233.4、(2018苏州期末）已知直线y＝a分别与直线y＝2x－2和曲线y＝2ex＋x相交于点A，B，则线段AB长度的最小值为________．【答案】、.12(3＋ln2)【解析】、设点C在直线y＝2x－2上，且BC⊥AB，则BC＝2AB.只要先求BC的最小值．考虑h(x)＝(2ex＋x)－(2x－2)＝2ex－x＋2，则h′(x)＝2ex－1.令h′(x)＝0，得ex＝12，即x＝ln12＝－ln2，可得h(x)min＝h(－ln2)＝3＋ln2，所以BC的最小值为3＋ln2，从而AB的最小值为12(3＋ln2)．考向一利用都是证明不等式例1、已知函数21ln2xfxx.(1)求函数fx的单调递增区间；(2)证明：当1x时，1fxx.【解析】：f′(x)＝1x－x＋1＝－x2＋x＋1x，x∈(0，＋∞).由f′(x)＞0得x＞0，－x2＋x＋1＞0.解得0＜x＜1＋52.故f(x)的单调递增区间是150,2.(2)证明：令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞).则有F′(x)＝1－x2x.当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＜0，所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减，故当x＞1时，F(x)＜F(1)＝0，即当x＞1时，f(x)＜x－1.变式1、已知函数()(1)lnfxxx，（1）当1x时，证明：()22fxx；（2）已知0ba，证明：lnln2baabba证明：（1）方法一：设()(1)ln(22)hxxxx，[1,)x，则1'()ln1hxxx，设1()ln1gxxx，则21g'()0xxx，所以()gx在[1,)上单调递增，所以()(1)=0gxg，即'()0hx，所以()hx在[1,)上单调递增，所以()(1)=0hxh方法二：设2(1)()ln1xhxxx，则222141'()011xhxxxx（）（）（），所以()hx在[1,)上单调递增，所以()(1)=0hxh变式2、(2019苏州暑假测试）已知函数f(x)＝x－1－alnx(其中a为参数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x∈(0，＋∞)都有f(x)≥0成立，求实数a的取值集合；(3)证明：1＋1nne1＋1nn＋1(其中n∈N*，e为自然对数的底数)．【解析】(1)f′(x)＝1－ax＝x－ax(x0)，当a≤0时，f′(x)＝1－ax＝x－ax0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2分)当a0时，x(0，a)a(a，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以f(x)的增区间是(a，＋∞)，减区间是(0，a)．综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)；当a0时，f(x)的单调递增区间是(a，＋∞)，单调递减区间是(0，a)．(5分)(2)由题意得f(x)min≥0.当a≤0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，当x→0时，f(x)→－∞，故不合题意；(6分)当a0时，由(1)知f(x)min＝f(a)＝a－1－alna≥0.(13分)令g(a)＝a－1－alna，则由g′(a)＝－lna＝0，得a＝1，a(0,1)1(1，＋∞)g′(a)＋0－g(a)极大值所以g(a)＝a－1－alna≤0，又f(x)min＝f(a)＝a－1－alna≥0，所以a－1－alna＝0，所以a＝1，即实数a的取值集合是{1}．(10分)(3)要证不等式1＋1nne1＋1nn＋1，两边取对数后，只要证nln1＋1n1(n＋1)ln1＋1n，(11分)即只要证1n＋1ln1＋1n1n，令x＝1＋1n，则只要证1－1xlnxx－1(1x≤2)．(12分)由(1)知当a＝1时，f(x)＝x－1－lnx在(1,2]上递增，因此f(x)f(1)，即x－1－lnx0，所以lnxx－1(1x≤2)．(14分)令φ(x)＝lnx＋1x－1(1x≤2)，则φ′(x)＝x－1x20，所以φ(x)在(1,2]上递增，故φ(x)φ(1)，即lnx＋1x－10，所以1－1xlnx(1x≤2)．综上，原命题得证．(16分)方法总结：：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx＜x＜ex(x＞0)，xx＋1≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”