【新高考复习】考点27 三角恒等变换（1）（原卷版）

考点27三角恒等变换（1）【命题解读】能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．.能运用上述公式进行简单的恒等变换【基础知识回顾】知识梳理1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，简记作S(α±β)；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ，简记作C(α±β)；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanα·tanβ，简记作T(α±β)．2.二倍角公式sin2α＝2sinα·cosα；tan2α＝2tanα1－tan2α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．3.辅助角公式y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ为辅助角，且其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，tanφ＝ba.4.公式的逆用及有关变形tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)；sinα±cosα＝2sin(α±π4)；sinα·cosα＝12sin2α；1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1＋cos2α2；tan2α＝1－cos2α1＋cos2α(降幂公式)；1－cos2α＝2sin2α；1＋cos2α＝2cos2α(升幂公式)．1、知cosα＝－45，α∈π，3π2，则sinα＋π4等于()A.－210B.210C.－7210D.72102、已知tanα＋π4＝2，则tanα＝()A.13B.－13C.43D.－433、(多选)已知f(x)＝12(1＋cos2x)sin2x(x∈R)，则下面结论正确的是()A．f(x)的最小正周期T＝π2B．f(x)是偶函数C．f(x)的最大值为14D．f(x)的最小正周期T＝π4、(多选)下列式子的运算结果为3的是()A．tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°B．2(sin35°cos25°＋cos35°cos65°)C.1＋tan15°1－tan15°D.tanπ61－tan2π65、【2020江苏南京三校联考】已知sin(𝑥+𝜋4)=35，则sin2𝑥＝_____________．【答案】﹣725【解析】∵sin(𝑥+𝜋4)=35，∴sin2x=−cos(2x+𝜋2)=2sin2(x+𝜋4)−1=1825﹣1=−725，故答案为：﹣725．6、(一题两空)已知0＜α＜π2，且sinα＝35，则tanα＋5π4＝________，sin2α＋sin2αcos2α＋cos2α＝________.考向一利用两角和(差)公式运用例1、已知0＜β＜π2＜α＜π，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)．变式1、（2020江苏溧阳上学期期中考试）如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为1010，55，则sin()______．变式2、【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】已知是第二象限角，且5sin5，tan2，则tan____.变式3、在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC＝________.方法总结：考查两角和差的三角函数．公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解．本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想．考向二二倍角公式的运用例2、(1)已知πcos()4x＝35，则sin2x＝________．(2)已知3ππ1sin()cos()444xx，则cos4x的值为________．变式1、(1)sin10°1－3tan10°＝________.(2)化简sin235°－12cos10°cos80°＝________.变式2、已知cosπ6＋αcosπ3－α＝－14，α∈π3，π2.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－1tanα的值．方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用．三角函数式的化简要注意以下3点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．本题考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．考向三公式的综合运用例3、化简：（1＋sinθ＋cosθ）sinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)．变式1、设α是锐角，且cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为____．变式2、计算2cos10°－23cos－100°1－sin10°＝________.变式3、已知sinα＋π4＝210，α∈π2，π.求：(1)cosα的值；(2)sin2α－π4的值．方法总结：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.1、（2020全国Ⅰ理9）已知 0,π，且3cos28cos5，则sin（）A．53B．23C．13D．592、（2020全国Ⅱ理2）若为第四象限角，则（）A．02cosB．02cosC．02sinD．02sin3、（2020全国Ⅲ文5）已知sinsin13，则sin6（）A．12B．33C．23D．224、（2020全国Ⅲ理9）已知2tantan74，则tan（）A．2B．1C．1D．25、（2019•新课标Ⅱ，理10）已知(0,)2，2sin2cos21，则sin()6、【2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟】已知π02，，ππ2，，1cos3，7sin9.（1）求sin的值；（2）求tan+2的值.7、【2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟】已知,为锐角，4sin5=，5cos()5.（1）求cos的值；（2）求tan2的值.8、（2018年高考江苏卷）已知,为锐角，4tan3，5cos()5．（1）求cos2的值；（2）求tan()的值．