【新高考复习】考点29 三角函数的图象与性质（原卷版）

考点29三角函数的图象与性质【命题解读】三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.【基础知识回顾】1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)“五点法”作图原理：在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1).(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRxx∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周周期是2kπ(k∈Z且周期是2kπ(k∈Z周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正期性k≠0)，最小正周期是2π且k≠0)，最小正周期是2π周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是kπ2，0(k∈Z)1、函数2tan23yx的定义域为（）A．|12xxB．|12xxC．|,12xxkkZD．|,212kxxkZ2、下列关于函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是()A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2和π2，π上是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在π2，π和－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数3、（安徽省淮南市2019届高三模拟）若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω等于()A.23B.32C．2D．34、下列关于函数tan()3yx的说法正确的是()A．在区间5(,)66上单调递增B．最小正周期是C．图象关于(,0)4成中心对称D．图象关于直线6x成轴对称5、函数y＝cosπ4－2x的单调减区间为______________．6、函数y＝tan2x＋π4的图象与x轴交点的坐标是________________．考向一三角函数的定义域例1(1)函数y＝sinx－cosx的定义域为(2)函数y＝1－2cosx＋lg(2sinx－1)的定义域为．变式1、(1)函数y＝1tanx－1的定义域为________.(2)函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为________.变式2、函数y＝sinx－cosx的定义域为________．方法总结：三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式．(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．2．简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解．(2)利用三角函数的图象求解．考向二三角函数的值域(最值)例2、（1）[2017·全国Ⅱ高考]函数f()x＝sin2x＋3cosx－34(x∈0，π2)的最大值是____．(2)函数y＝sinx－2sinx－1的值域为___．(3)函数f(x)＝cos2x＋6cos(π2－x)的最大值为____．变式1、(1)函数f(x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为________．(2)设x∈0，π2，则函数y＝sin2x2sin2x＋1的最大值为________．(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为___________________________________．变式2、函数2πcossin(||)4yxxx≤的最大值为________，最小值为________．方法总结：求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)考向三三角函数的单调性例3、写出下列函数的单调区间：(1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tanx|．变式1：已知ω＞0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是____________．变式2：函数y＝cos2x＋π6的单调递增区间为_______________．方法总结：本题考查三角函数的单调性．首先化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再把ωx＋φ看作整体代入y＝sinx的相应单调区间内求x的范围即可．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．考向四三角函数的奇偶性、周期性及对称性例4、（1）函数y＝－2cos2π4＋x＋1是________．①最小正周期为π的奇函数；②最小正周期为π的偶函数；③最小正周期为π2的奇函数；④最小正周期为π2的非奇非偶函数．（2）当x＝π4时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f3π4－x满足________．①是奇函数且图象关于点π2，0对称；②是偶函数且图象关于点(π，0)对称；③是奇函数且图象关于直线x＝π2对称；④是偶函数且图象关于直线x＝π对称．（3）函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________．变式1、(1)若函数f(x)＝3sin2x－π3＋φ，φ∈(0，π)为偶函数，则φ的值为____．(2)若函数y＝cosωx＋π6(ω∈N*)图象的一个对称中心是π6，0，则ω的最小值为____．变式2、下列函数，最小正周期为的偶函数有()A．tanyxB．|sin|yxC．2cosyxD．sin(2)2yx方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性．求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．奇偶性可以用定义判断，也可以通过诱导公式将y＝Asin(ωx＋φ)转化为y＝Asinωx或y＝Acosωx.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在[,]的图象大致为A．B．C．D．2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin|||sin|fxxx有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2，）单调递增③f(x)在[,]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是2sincosxxxxA．①②④B．②④C．①④D．①③3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是A．f(x)=|cos2x|B．f(x)=|sin2x|C．f(x)=cos|x|D．f(x)=sin|x|4、【2018年高考全国卷II理数】若cossinfxxx在,aa是减函数，则a的最大值是A．π4B．π2C．3π4D．π5、【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．6、【2020年高考全国III卷理数】.关于函数f（x）=1sinsinxx有如下四个命题：①f（x）的图象关于y轴对称．②f（x）的图象关于原点对称．③f（x）的图象关于直线x=2对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．7、【2018年高考全国Ⅲ理数】函数πcos36fxx在0π，的零点个数为________．