【新高考复习】考点32 正弦定理、余弦定理的应用（解析版）

考点32正弦定理、余弦定理的应用【命题解读】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．【基础知识回顾】1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两点的距离为____________．A．202mB．302mC．402mD．502m【答案】：D【解析】：由正弦定理得，则AB＝502(m)．2．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min．若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为________m．A．503B．505C．507D．5011【答案】：C【解析】连结OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17500，解得OC＝507(m)．3．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距82nmile．此船的航速是__________nmile/h．A．16B．32C．64D．128【答案】：B【解析】：设航速为vnmile/h，在△ABS中，AB＝12v，BS＝82nmile，∠BSA＝45°，由正弦定理，得82sin30°＝12vsin45°，∴v＝32nmile/h．4．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，则舰艇靠近渔轮所需的时间为____________小时．A．12B．23C．34D．1【答案】：B【解析】：如图，设舰艇在B′处靠近渔轮，所需的时间为t小时，则AB′＝21t，CB′＝9t．在△AB′C中，根据余弦定理，则有AB′2＝AC2＋B′C2－2AC·B′Ccos120°，可得212t2＝102＋81t2＋2·10·9t·12．整理得360t2－90t－100＝0，解得t＝23或t＝－512(舍去)．故舰艇需23小时靠近渔轮．考向一利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题例1、某市电力部门需要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A，B两地距离．现测量人员在相距3km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一平面上)，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A，B距离的43倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？【解析】：在△ACD中，由已知可得∠CAD＝30°，所以AC＝3km．在△BCD中，由已知可得，∠CBD＝60°．sin75°＝sin(45°＋30°)＝6＋24．由正弦定理，BC＝3sin75°sin60°＝6＋22．cos75°＝cos(45°＋30°)＝6－24．在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA＝32＋6＋222－23·6＋22·cos75°＝5．所以AB＝5，故施工单位应该准备电线长为435km变式1、如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为103m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°．(1)求烟囱AB的高度；(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长．【解析】：(1)设AB的高度为h．在△CAB中，因为∠ACB＝45°，所以CB＝h．在△OAB中，因为∠AOB＝30°，∠AEB＝60°，所以OB＝3h，EB＝33h．由题意得3h－3h3＝103，解得h＝15．故烟囱AB的高度为15m．(2)在△OBC中，cos∠COB＝OC2＋OB2－BC22OC·OB＝300＋225×3－2252×103×153＝56．所以在△OCE中，CE2＝OC2＋OE2－2OC·OE·cos∠COE＝300＋300－600×56＝100．故CE的长为10m．变式2、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A为2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【解析】：如题图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD．设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝6．∵cos∠CBA＝BC2＋AB2－AC22BC·AB＝6＋（3－1）2－426·（3－1）＝22，∴∠CBA＝45°，即B在C正东．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°．即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．变式3、如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．【解析】：(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20海里，∠BCA＝α．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28海里．所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/小时．(2)在△ABC中，因为AB＝12海里，∠BAC＝120°，BC＝28海里，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsinα＝BCsin120°．即sinα＝AB·sin120°BC＝12×3228＝3314．方法总结：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．考向二正余弦定理在三角形中的运用例2、(2015南京、盐城、徐州二模）如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B＝60°，AD＝2，AC＝10，DC＝2，则AB＝________.【答案】263【解析】、在△ACD中，因为AD＝2，AC＝10，DC＝2，所以cos∠ADC＝2＋4－102×2×2＝－22，从而∠ADC＝135°，所以∠ADB＝45°.在△ADB中，ABsin45°＝2sin60°，所以AB＝2×2232＝263变式1、(2015南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．【答案】8＋157【解析】、从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD＝∠A－45°)，也可以从和的角度(∠A＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A的正切值，问题就迎刃而解了．解法1在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cosA＝32＋22－422×3×2＝－14，所以tanA＝－15，于是tan∠CAD＝tan(A－45°)＝tanA－tan45°1＋tanAtan45°＝8＋157.解法2由解法1得tanA＝－15.由tan(45°＋∠CAD)＝－15得tan45°＋tan∠CAD1－tan45°tan∠CAD＝－15，即1＋tan∠CAD1－tan∠CAD＝－15，解得tan∠CAD＝8＋157.变式2、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在ABC△中，已知点D在边AB上，3ADDB，4cos5A，5cos13ACB，13BC．（1）求cosB的值；（2）求CD的长．ABCD(第15题)解析：（1）在ABC△中，4cos5A，(0,π)A，所以2243sin1cos1()55AA．同理可得，12sin13ACB．所以coscos[π()]cos()BAACBAACBsinsincoscosAACBAACB312451651351365．（2）在ABC△中，由正弦定理得，1312sin203sin135BCABACBA．又3ADDB，所以154BDAB．在BCD△中，由余弦定理得，222cosCDBDBCBDBCB221651325136592．变式3、(2016徐州、连云港、宿迁三检）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝210，∠CAD＝π4，tan∠ADC＝－2.(1)求CD的长；(2)求△BCD的面积．解析：(1)因为tan∠ADC＝－2，且∠ADC∈(0，π)，所以sin∠ADC＝255，cos∠ADC＝－55.所以sin∠ACD＝sinπ－∠ADC－π4＝sin∠ADC＋π4＝sin∠ADC·cosπ4＋cos∠ADC·sinπ4＝1010，(6分)在△ADC中，由正弦定理得CD＝AD·sin∠DACsin∠ACD＝5(2)因为AD∥BC,所以cos∠BCD＝－cos∠ADC＝55，sin∠BCD＝sin∠ADC＝255在△BDC中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD，得BC2－2BC－35＝0，解得BC＝7,(12分)所以S△BCD＝12BC·CD·sin∠BCD＝12×7×5×255＝7.变式4、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝65，AB→·AC→＝50.(1)求cos∠BAC的值；(2)求sin∠CAD的值；(3)求△BAD的面积．解析：(1)因为AB→·AC→＝||AB→||AC→cos∠BAC，所以cos∠BAC＝AB→·AC→||AB→||AC→＝5013×10＝513.(2)在△ADC中，AC＝10，AD＝5