【新高考复习】考点34 平面向量的概念与线性运算（原卷版）

考点34平面向量的概念与线性运算【命题解读】平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题【基础知识回顾】1.向量的有关概念(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的．(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．2.向量的线性运算(1)向量加法满足交换律a＋b＝b＋a，结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则．(2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ0时，λa与a方向相同；当λ0时，λa与a方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0．(3)实数与向量的运算律：设λ，μ∈R，a，b是向量，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．3.向量共线定理：如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa．1、已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为()A.1B.2C.3D.42、设a，b是非零向量，则a＝2b是a|a|＝b|b|成立的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件3、已知MP→＝4e1＋2e2，PQ→＝2e1＋te2，若M、P、Q三点共线，则t＝()A.1B.2C.4D.－14、（2019秋•如皋市期末）（多选题）在梯形ABCD中，//ABCD，2ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于M，设ABa，ADb，则下列结论正确的是()A．12ACabB．12BCabC．1233BMabD．14EFab5、（多选题）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若AM→＝12AB→＋12AC→，则点M是边BC的中点B．若AM→＝2AB→－AC→，则点M在边BC的延长线上C．若AM→＝－BM→－CM→，则点M是△ABC的重心D．若AM→＝xAB→＋yAC→，且x＋y＝12，则△MBC的面积是△ABC面积的126、在△ABC中，||AB→＝||AC→＝||AB→－AC→，则∠BAC＝_____．考向一平面向量的有关概念例1、（2019年徐州开学初考试）给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB→＝DC→”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A.②③B.①②C.③④D.②④变式1、．(多选)给出下列命题，不正确的有()A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B．若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→＝DC→，则ABCD为平行四边形C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥bD．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线变式2、给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；baOFEDCBA②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．0B．1C．2D．3变式3、（山东泰安一中2019届高三模拟）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．0B.1C．2D．3变式4、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心．（1）与AB相等的向量有；（2）与CB相等的向量有；（3）与BC共线的向量有．答案：（1）ED，FO，OC；（2）OA,EF,DO；（3）,,,,,,,,CBOAAOODDOADDAEFFE．方法总结：向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．考向二向量的线性运算例2、(1)(2019·安徽合肥二模)在△ABC中，BD―→＝13BC―→，若AB―→＝a，AC―→＝b，则AD―→＝()A.23a＋13bB．13a＋23bC.13a－23bD.23a－13b(2)(一题多解)(2020·广东一模)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA―→－12OB―→－3OC―→＝0，则()A.OA―→＝12AB―→＋3AC―→B．OA―→＝12AB―→－3AC―→C.OA―→＝－12AB―→＋3AC―→D.OA―→＝－12AB―→－3AC―→变式1、（山西平遥中学2019届期末）在△ABC中，AB―→＝c，AC―→＝b，若点D满足BD―→＝2DC―→，则AD―→等于()A.23b＋13cB.53c－23bC.23b－13cD．13b＋23c变式2、(2019·衡水中学五调)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF→＝()A.－12AB→＋34AD→B.12AB→＋23AD→B.13AB→－12AD→D.12AB→－34AD→变式3、1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→等于()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→2．如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝12AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则DE→等于()A.12AB→－12AC→B.12AB→＋12AC→C.12AB→－14AC→D.12AB→＋14AC→变式4、（2019无锡区期末）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算错误的是()A．ABADACB．ACCDDOOAC．ABACCDADD．0ACBADA变式5、（2019宿迁期末）如图所示，四边形ABCD为梯形，其中//ABCD，2ABCD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是()A．12ACADABB．1122MCACBCC．14MNADABD．12BCADAB方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．考向三共线定理的应用例3、如图，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，设OA→＝a，OB→＝b.试用a和b表示OM→.变式1、(2019·河南郑州第一次质量预测)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2OA→＋xOB→＋BC→＝0成立的实数x的取值集合为()A.{0}B.∅C.{－1}D.{0，－1}变式2、（2019秋•清远期末）等边三角形ABC中，BDDC，2ECAE，AD与BE交于F，则下列结论正确的是()A．1()2ADABACB．2133BEBCBAC．12AFADD．1123BFBABC变式3、设两个非零向量a与b不共线．(1)AB―→＝a＋b，BC―→＝2a＋8b，CD―→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．方法总结：利用共线向量定理解题的方法(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔AB―→，AC―→共线．(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)OA―→＝λOB―→＋μOC―→(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.1、在△ABC中，点G满足GA→＋GB→＋GC→＝0.若存在点O，使得OG→＝16BC→，且OA→＝mOB→＋nOC→，则m－n等于()A．2B．－2C．1D．－12、A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(1，2]D．(－1,0)3、【2018年高考全国I卷理数】在ABC△中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EBA．3144ABACB．1344ABACC．3144ABACD．1344ABAC4、.在△ABC中，下列命题正确的是()A.AB→－AC→＝BC→B.AB→＋BC→＋CA→＝0C.若(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC为等腰三角形D.若AC→·AB→＞0，则△ABC为锐角三角形5、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且3BCEC，F为AE的中点，则（）A．12BCABADB．1133AFABADC．2133BFABADD．1263CFABAD6、【江苏卷】在△ABC中，43=90ABACBAC，，∠，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若3()2PAmPBmPC（m为常数），则CD的长度是________．7、在四边形ABCD中，AB→＝DC→＝(1,1)，1|BA→|·BA→＋1|BC→|·BC→＝3|BD→|·BD→，则四边形ABCD的面积为________.8、已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？