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专题突破练11等差数列、等比数列一、单项选择题1.(2021·江西景德镇模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a2=7,am-1+am=73(m≥3),Sm=2020,则m的值为()A.100B.101C.200D.2022.(2021·山东临沂检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.72B.81C.90D.993.(2021·广东汕头一模)在正项等比数列{an}中,a2a4=16,a4+a5=24,则数列{an}的通项公式为()A.an=2n-1B.an=2nC.an=3nD.an=3n-14.(2021·山东济宁一模)随着新冠疫情防控形势的逐渐好转,某企业开始复工复产.经统计,该企业2020年7月到12月的月产量(单位:吨)逐月增加,且各月的产量成等差数列,其中7月的产量为10吨,12月的产量为20吨,则8月到11月的产量之和为()A.48吨B.54吨C.60吨D.66吨5.(2021·广东深圳一模)在数列{an}中,a1=3,am+n=am+an(m,n∈N*),若a1+a2+a3+…+ak=135,则k=()A.10B.9C.8D.76.(2021·山东淄博一模)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则“S20200,S20210”是“a1010a10110”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件二、多项选择题7.(2021·山东烟台模拟)已知等差数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,a7=3a5,则下列选项正确的是()A.公差d0B.a10C.当n=5时,Sn最小D.当Sn0时,n的最小值为88.(2021·山东临沂一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是()A.若Sn=n2-1,则{an}是等差数列B.若Sn=2n-1,则{an}是等比数列C.若{an}是等差数列,则S99=99a50D.若{an}是等比数列,且a10,q0,则S2n-1·S2n+1三、填空题9.(2021·辽宁沈阳一模)在正项等比数列{an}中,+2a6a8+=100,则a5+a9=.10.(2021·山东胜利一中月考)在等差数列{an}中,a1+a7=12,当取得最小值时,a2020=.11.(2021·江苏南通金沙中学月考)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且,则使得为整数的正整数n的值为.四、解答题12.(2021·福建龙岩模拟)已知数列{an}是等差数列,且a3=-6,a6=0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若等比数列{bn}满足b1=a2,b2=a1+a2+a3,求数列{bn}的前n项和Sn.13.(2021·全国Ⅱ,文18)记Sn为数列{an}的前n项和,已知an0,a2=3a1,且数列{√}是等差数列.证明:{an}是等差数列.14.(2021·河北张家口一模)已知公比小于1的等比数列{an}的前n项和为Sn,a2=,S3=.(1)求an;(2)求证:≤Sn1.15.(2021·山东潍坊一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=6,Sn=an+1+1.(1)证明:数列{Sn-1}为等比数列,并求出Sn.(2)求数列{}的前n项和Tn.16.(2021·山东烟台一模)在以下三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答.①a3+a5=14,②S4=28,③a8是a5与a13的等比中项.问题:已知{an}为公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn,{bn}为等比数列,其前n项和Tn=2n+λ,λ为常数,a1=b1,.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)令cn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,求c1+c2+c3+…+c100的值.专题突破练11等差数列、等比数列1.B解析:由已知得a1+a2+am-1+am=80.因为{an}为等差数列,所以a1+am=a2+am-1,所以a1+am=40,所以Sm==20m=2020,解得m=101.2.B解析:由题意及等比数列的性质,可得S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,则-=S3(S9-S6),即(36-9)2=9(S9-S6),解得S9-S6=81,即a7+a8+a9=81.3.A解析:设等比数列{an}的公比为q,由题意,可知an0,q0.因为{an}为等比数列,所以a2a4==16,解得a3=4.所以a4+a5=a3(q+q2)=4(q+q2)=24,整理得q2+q-6=0,解得q=2.所以an=a3qn-3=4×2n-3=2n-1.4.C解析:设2020年7月到12月的月产量(单位:吨)分别为a1,a2,a3,a4,a5,a6,由题意,可知a1=10,a6=20,a1,a2,a3,a4,a5,a6成等差数列,则a1+a6=a2+a5=a3+a4=30,故a2+a3+a4+a5=60.故8月到11月的产量之和为60吨.5.B解析:令m=1,由am+n=am+an,得an+1=a1+an,即an+1-an=a1=3,所以{an}是首项为3,公差为3的等差数列,所以an=3+3(n-1)=3n.所以a1+a2+a3+…+ak==135,整理得k2+k-90=0,解得k=9或k=-10(舍去).6.B解析:依题意,若S20200,S20210,则=1010(a1010+a1011)0,即a1010+a10110,=2021a10110,即a10110,所以a10100,所以a1010a10110,充分性成立.当a10100,a10110时,满足a1010a10110,不能推出S20200,S20210,必要性不成立.故“S20200,S20210”是“a1010a10110”的充分不必要条件.7.ABD解析:因为a7=3a5,所以a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d,又等差数列{an}是递增数列,所以d0,所以a10,故A,B正确.因为Sn=n2+(-)n=n2-n=(-),所以当n=3或n=4时,Sn最小,故C错误.令Sn=n2-n0,解得n0或n7,又n∈N*,所以当Sn0时,n的最小值为8,故D正确.8.BC解析:对于A选项,因为Sn=n2-1,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,当n=1时,a1=S1=0,而a1=0不满足an=2n-1,故A错误.对于B选项,因为Sn=2n-1,所以当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,又a1=1满足an=2n-1,所以an=2n-1,所以=2,所以{an}是等比数列,故B正确.对于C选项,因为{an}是等差数列,所以S99==99a50,故C正确.对于D选项,由已知得当n=1时,S1·S3-(1+q+q2)-(1+q)2=-q0,所以当n=1时,S2n-1·S2n+1,故D错误.9.10解析:因为{an}是正项等比数列,所以a5a9=a6a8,a5+a90.又+2a6a8+=100,所以+2a5a9+=100,即=100,所以a5+a9=10.10.6解析:设等差数列{an}的公差为d.由等差中项的性质,得a1+a7=2a4=12,解得a4=6.所以=(6-d)2+62+(6+d)2=2d2+108.当d=0时,取得最小值,此时a2020=a4=6.11.2,4,14解析:由已知得----=3+.因为为整数,n∈N*,所以n+1=3,5,15,即n=2,4,14.所以正整数n的值为2,4,14.12.解:(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3=-6,a6=0,所以a1+2d=-6,a1+5d=0,解得a1=-10,d=2.所以an=-10+(n-1)·2=2n-12.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2=a1+a2+a3=3a2,b1=a2=2×2-12=-8,所以q==3,所以Sn=---=4(1-3n).13.证明:∵{√}是等差数列,a2=3a1,∴√√√√√,即数列{√}的公差为√.∴√√+(n-1)√=n√,即Sn=n2a1.当n≥2时,Sn-1=(n-1)2a1,则an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1.当n=1时,a1=(2×1-1)a1,符合上式,∴an=(2n-1)a1,n∈N*.∴an+1-an=2a1,∴{an}是等差数列.14.(1)解:设等比数列{an}的公比为q(q1).因为a2=,S3=,所以q=,即2q2-5q+2=0,解得q=或q=2(舍去).所以an=()-.(2)证明:由(1)知a1=,q=,所以Sn=[-()]-=1-.因为y=()在R上为减函数,且y=()0恒成立,所以当n∈N*时,0,所以≤1-1,即≤Sn1.15.解:(1)由已知得Sn=(Sn+1-Sn)+1,整理得Sn+1=3Sn-2,所以Sn+1-1=3(Sn-1).令n=1,得S1=a2+1=4,所以S1-1=3,所以{Sn-1}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以Sn-1=3×3n-1=3n,所以Sn=3n+1.(2)由(1)知Sn=3n+1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-(3n-1+1)=2×3n-1,当n=1时,a1=S1=4,所以an={-所以{-所以当n=1时,T1=,当n≥2时,Tn=+…+(--)--.又T1=符合上式,所以Tn=-.16.解:若选①.(1)设{bn}的公比为q.由已知得b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,所以q==2,所以bn=2×2n-2=2n-1.所以a1=b1=1.设{an}的公差为d,由a3+a5=14,得1+2d+1+4d=14,解得d=2,所以an=2n-1.(2)由cn=[lgan],得c1=c2=c3=c4=c5=0,c6=c7=…=c50=1,c51=c52=…=c100=2,所以c1+c2+c3+…+c100=1×45+2×50=145.若选②.(1)设{bn}的公比为q.由已知得b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,所以q==2,所以bn=2×2n-2=2n-1.所以a1=b1=1.设{an}的公差为d,由S4=28,得4×1+d=28,解得d=4,所以an=4n-3.(2)由cn=[lgan],得c1=c2=c3=0,c4=c5=…=c25=1,c26=c27=…=c100=2,所以c1+c2+c3+…+c100=1×22+2×75=172.若选③.(1)设{bn}的公比为q.由已知得b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,所以q==2,所以bn=2×2n-2=2n-1.所以a1=b1=1.设{an}的公差为d,由a8是a5与a13的等比中项,得(1+7d)2=(1+4d)(1+12d),解得d=0或d=2.又d≠0,所以d=2,所以an=2n-1.(2)由cn=[lgan],得c1=c2=c3=c4=c5=0,c6=c7=…=c50=1,c51=c52=…=c100=2,所以c1+c2+c3+…+c100=1×45+2×50=145.