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专题突破练15空间位置关系、空间角的向量方法1.(2021·江苏扬州一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.求证:(1)AP∥平面EBD;(2)BE⊥PC.2.(2021·江苏泰州模拟)在正四棱锥P-ABCD中,AB=2,PA=√,E,F分别是AB,AD的中点,过直线EF的平面α分别与侧棱PB,PD交于点M,N.(1)求证:MN∥BD;(2)若EF=2MN,求直线PA与平面α所成角的正弦值.3.(2021·湖南常德一模)如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,D为△ABC所在平面内一点,且四边形ABCD是菱形,AC∩BD=O,四边形ACC1A1为正方形,平面A1DC1⊥平面A1B1C1.(1)求证:B1O⊥平面ABCD;(2)求二面角C-DC1-A1的正弦值.4.(2021·全国Ⅰ,理18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.(1)求BC;(2)求二面角A-PM-B的正弦值.5.(2021·山东泰安一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD=2,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)若PA=1,求证:AE⊥平面PCD;(2)当直线PC与平面ACE所成的角最大时,求三棱锥E-ABC的体积.6.(2021·山东日照二模)如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,∠ACB=∠ACD=θ.(1)求证:AC⊥BD.(2)有三个条件:①θ=60°;②直线AC与平面BCD所成的角为45°;③二面角A-CD-B的余弦值为√.请你从中选择一个作为已知条件,求直线BC与平面ACD所成角的正弦值.专题突破练15空间位置关系、空间角的向量方法1.证明:(1)连接AC交BD于点O,连接OE,因为四边形ABCD为平行四边形,所以O为AC的中点.又E为PC的中点,所以AP∥OE.又AP⊄平面EBD,OE⊂平面EBD,所以AP∥平面EBD.(2)因为△PCD为正三角形,E为PC的中点,所以PC⊥DE.因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,BD⊂平面ABCD,BD⊥CD,所以BD⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD,所以PC⊥BD.又BD∩DE=D,所以PC⊥平面BDE.又BE⊂平面BDE,所以BE⊥PC.2.(1)证明:因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,又EF⊄平面PBD,BD⊂平面PBD,所以EF∥平面PBD.又EF⊂平面α,平面α∩平面PBD=MN,所以EF∥MN,所以MN∥BD.(2)解:因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF=BD.又EF=2MN,所以BD=4MN.由(1)知MN∥BD,所以PM=PB.如图,以BD的中点O为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(1,-1,0),E(1,0,0),F(0,-1,0),B(1,1,0),P(0,0,2),所以⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1,2),⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,-1,0),⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,-2),⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,0),所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(-),所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(-).设平面α的法向量为n=(x,y,z),则{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗即{---令x=3,则y=-3,z=2,所以n=(3,-3,2)为平面α的一个法向量.设直线PA与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos⃗⃗⃗⃗⃗,n|=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√√√,所以直线PA与平面α所成角的正弦值为√.3.(1)证明:如图,取A1C1的中点M,连接MD,MB1,MO.由题意可知B1M∥BD,B1M=BO=OD,所以四边形B1MDO是平行四边形.因为A1B1=B1C1,所以B1M⊥A1C1.因为四边形ACC1A1为正方形,所以OM⊥A1C1.又OM∩B1M=M,所以A1C1⊥平面B1MDO.又MD⊂平面B1MDO,所以A1C1⊥DM.又平面A1DC1⊥平面A1B1C1,平面A1DC1∩平面A1B1C1=A1C1,DM⊂平面A1DC1,所以DM⊥平面A1B1C1.又平面ABCD∥平面A1B1C1,所以DM⊥平面ABCD.因为四边形B1MDO是平行四边形,所以B1O∥DM,所以B1O⊥平面ABCD.(2)解:以O为坐标原点,OC,OD,OB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则C(1,0,0),D(0,√,0),C1(1,√,1),A1(-1,√,1),所以⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,√,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,1),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,√,0).设平面CDC1的法向量为m=(x,y,z),则{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗即{-√令y=1,则x=√,z=-√,所以m=(√,1,-√)为平面CDC1的一个法向量.因为⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,√,0)为平面A1DC1的一个法向量.设二面角C-DC1-A1的大小为θ,则|cosθ|=|cosm,⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√√√√,所以sinθ=√-√.所以二面角C-DC1-A1的正弦值为√.4.解:(1)连接BD.∵PD⊥底面ABCD,AM⊂底面ABCD,∴PD⊥AM.∵PB⊥AM,PB∩PD=P,∴AM⊥平面PBD,∴AM⊥BD,∴∠ADB+∠DAM=90°.又∠DAM+∠MAB=90°,∴∠ADB=∠MAB,∴Rt△DAB∽Rt△ABM,∴,∴BC2=1,∴BC=√.(2)如图,以D为原点,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得A(√,0,0),B(√,1,0),M(√),P(0,0,1),⃗⃗⃗⃗⃗=(-√,0,1),⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-√,1,0,⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-√,0,0,⃗⃗⃗⃗⃗=(-√,-1,1).设平面AMP的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗即{-√-√令x1=√,则y1=1,z1=2,可得m=(√,1,2).设平面BMP的一个法向量为n=(x2,y2,z2),同理可得n=(0,1,1).则cosm,n=√√√.设二面角A-PM-B的平面角为θ,则sinθ=√-√-√.5.(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵四边形ABCD为矩形,∴AD⊥CD.又AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD.又AE⊂平面PAD,∴CD⊥AE.∵PA=AD=1,E为PD的中点,∴AE⊥PD.又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.(2)解:以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.设AP=a(a0),则C(2,1,0),P(0,0,a),E(),∴⃗⃗⃗⃗⃗=(2,1,0),⃗⃗⃗⃗⃗=0,,⃗⃗⃗⃗⃗=(2,1,-a).设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗即{令y=-a,则x=,z=1,∴n=(-)为平面ACE的一个法向量.设直线PC与平面ACE所成的角为θ,则sinθ=|cosn,⃗⃗⃗⃗⃗|=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√√√,当且仅当=5a2,即a=√时,等号成立.∴当a=√时,直线PC与平面ACE所成的角最大,此时三棱锥E-ABC的体积为×2×1×√√.6.(1)证明:如图,取BD的中点O,连接OA,OC,则OC⊥BD.因为BC=DC,∠ACB=∠ACD=θ.AC=AC,所以△ABC≌△ADC,所以AB=AD,所以OA⊥BD.又OA∩OC=O,所以BD⊥平面AOC.又AC⊂平面AOC,所以AC⊥BD.(2)解:在直线AC上取点P,使得∠POC=90°,连接PB,PD,由(1)知BD⊥平面AOC,PO⊂平面AOC,所以BD⊥PO.又OC∩BD=O,所以PO⊥平面BCD.由(1)知OC⊥BD,所以OC,OD,OP两两互相垂直.以O为原点,OC,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.如图所示.因为∠BCD=90°,BC=CD=1,所以OC=OB=OD=√.又PO⊥平面BCD,所以PB=PC=PD.选①,由θ=60°,可知△PCD是等边三角形,所以PD=CD=1,OP=√.所以P(√),C√,0,0,D(√),B(-√),所以⃗⃗⃗⃗⃗(√√)⃗⃗⃗⃗⃗(√-√)⃗⃗⃗⃗⃗(-√√).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则{⃗⃗⃗⃗⃗√-√⃗⃗⃗⃗⃗-√√取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为α,则sinα=|cos⃗⃗⃗⃗⃗,n|=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√√√.因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为√.选②,由PO⊥平面BCD,可知∠PCO为直线AC与平面BCD所成的角,所以∠PCO=45°,所以OP=OC=√.所以P(√),C(√),D(√),B0,-√,0,所以⃗⃗⃗⃗⃗(√√)⃗⃗⃗⃗⃗(√-√)⃗⃗⃗⃗⃗=0,-√√.设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则{⃗⃗⃗⃗⃗√-√⃗⃗⃗⃗⃗-√√取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为α,则sinα=|cos⃗⃗⃗⃗⃗,n|=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√√√.因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为√.选③,作PM⊥CD,垂足为M,连接OM.由PO⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,可知PO⊥CD.又PO∩PM=P,所以CD⊥平面POM,所以CD⊥OM,所以∠PMO为二面角A-CD-B的平面角.所以cos∠PMO=√,所以tan∠PMO=√.因为OM=√√,所以OP=OMtan∠PMO=√.所以P(√),C(√),D(√),B0,-√,0,所以⃗⃗⃗⃗⃗(√√)⃗⃗⃗⃗⃗(√-√)⃗⃗⃗⃗⃗(-√√).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则{⃗⃗⃗⃗⃗√-√⃗⃗⃗⃗⃗-√√取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为α,则sinα=|cos⃗⃗⃗⃗⃗,n|=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√√√.因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为√.