【新高考复习】专题20 立体几何综合大题必刷100题(原卷版)

专题20立体几何综合大题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题1．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E为线段11AB的中点，F为线段AB的中点.（1）求点B到直线1AC的距离；（2）求直线FC到平面1AEC的距离.2．如图，正方形11ABBA的边长为2，11,ABAB的中点分别为C，1C，正方形11ABBA沿着1CC折起形成三棱柱111ABCABC，三棱柱111ABCABC中，1,ACBCADAA.（1）证明:当12时，求证：1DC平面BCD；（2）当14时，求二面角1DBCC的余弦值.3．如图，直三棱柱111ABCABC的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱1AA的长为5.（1）求三棱柱111ABCABC的体积；（2）设M是BC中点，求直线1AM与平面ABC所成角的正切值.4．如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，90.BAC点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，4PAAC，2AB.（1）求证：//MN平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值；（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为77，求线段AH的长.5．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO，OA、OB是底面半径，且90AOB，M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与OB所成的角的余弦值.6．如图所示，已知四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，三角形PAB为正三角形，侧面PAB底面ABCD，M是棱AD的中点．（1）求证：PCBM；（2）求二面角BPMC的正弦值．7．已知点E，F分别是正方形ABCD的边AD，BC的中点.现将四边形EFCD沿EF折起，使二面角CEFB为直二面角，如图所示.（1）若点G，H分别是AC，BF的中点，求证：//GH平面EFCD；（2）求直线AC与平面ABFE所成角的正弦值.8．已知如图1所示，等腰ABC中，4ABAC，43BC，D为BC中点，现将ABD沿折痕AD翻折至如图2所示位置，使得3BDC，E、F分别为AB、AC的中点．（1）证明：//BC平面DEF；（2）求四面体BCDE的体积．9．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，BC=BB1=4，125ACAB，且∠BCC1=60°.（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1：（2）设二面角C-AC1-B的大小为θ，求sinθ的值.10．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，//ADBC，∠BAD=90°，已知33PAPC，2,3,3ADABBC.（1）证明：ACPD；（2）若二面角PACB的余弦值为13，求四棱锥PABCD的体积.11．如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（1）求证：平面CC1D1D⊥底面ABCD；（2）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为3，求线段ED1的长度．12．如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAD平面ABCD，PAD△是斜边PA的长为22的等腰直角三角形，E，F分别是棱PA，PC的中点，M是棱BC上一点．（1）求证：平面DEM平面PAB；（2）若直线MF与平面ABCD所成角的正切值为22，求锐二面角EDMF的余弦值．13．如图所示，四棱锥EABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面EAB底面ABCD，EAEB，F在侧棱CE上，且BF平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求点D到平面ACE的距离．14．在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．15．如图，在长方体1111ABCDABCD中，1ABBC，12BB，E为棱1AA的中点.（1）证明：BE平面11EBC；（2）求二面角1BECC的大小.16．如下图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD平面ABCD，2SASD，3AB．（1）求SA与BC所成角的余弦值；（2）求证：ABSD．17．如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM．（1）证明：平面PAM平面PBD；（2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积．18．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，120,1,4,15ABCABBCPA，M，N分别为,BCPC的中点，,PDDCPMMD.（1）证明：ABPM；（2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.19．如图，.ABOPAOCO是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I）求证BCPAC平面；（II）设//.QPAGAOCQGPBC为的中点，为的重心，求证：平面20．如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB∥.（Ⅰ）求证：CE平面PAD；（Ⅱ）若1PAAB，3AD，2CD，45CDA，求四棱锥PABCD的体积.21．如图，直三棱柱ABCABC，90BAC，,ABACAA点M，N分别为AB和BC的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面AACC;(Ⅱ)若二面角AMNC为直二面角，求的值．22．如图，在三棱锥SABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,90,BACO为BC中点.（Ⅰ）证明：SO平面;ABC（Ⅱ）求二面角ASCB的余弦值.23．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．24．如图，在三棱锥PABC中，22ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点．（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且2MCMB，求点C到平面POM的距离．25．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．26．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD．（Ⅰ）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（Ⅱ）证明：平面PAB⊥平面PBD．27．如图，在三棱台ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.28．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且11BDAF，1111ACAB.求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.29．如图，在三棱锥111ABCABC中，11BAC90ABAC2,4,AAA，在底面ABC的射影为BC的中点，D为11BC的中点.（1）证明：11DABCA平面；（2）求直线1AB和平面11BCBC所成的角的正弦值.30．如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，,,60,ABADACCDABCPAABBC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明CDAE；（Ⅱ）证明PD平面ABE；（Ⅲ）求二面角APDC的大小．任务二:中立模式(中档)30-70题31．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点.（1）证明：BD⊥PF；（2）若AD=DB=2，求点C到平面PBD的距离；32．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若∠BAD=60°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值；33．如图，在四棱锥E-ABCD中，ABCE，AECD，BCAD∥，AB=3，CD=4，AD=2BC=10.（1）证明：∠AED是锐角；（2）若AE=10，求二面角A-BE-C的余弦值.34．如图，在直四棱柱1111ABCDABCD中，12AEEA（1）若F为1BB的中点，试在11AB上找一点P，使//PF平面1CDE；（2）若四边形ABCD是正方形，且1BB与平面1CDE所成角的余弦值为2107，求二面角1EDCD的余弦值.35．如图1，已知ADE为等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，1,2,5BCBDBA，把ADE沿AD向上折起，使点E到达点P位置，如图2所示；且平面PAD平面PBD．（1）证明：PABD；（2）在（1）的条件下求二面角APBC的余弦值．36．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，2PA，四边形ABCD为梯形，//ABCD，3AB，1CD，3AD，60ABC，30BADo，点E在AB上，满足ADDE.（1）求证：平面PAD平面PBC；（2）若点F为PA的中点，求平面PCD与平面DEF所成角的余弦值.37．在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，22PAAB，90ABCACD，60BACCAD，E为PD的中点，在平面PCD内作EFPC于点F.（1）求证：平面AEF平面PAC；（2）求二面角PACE的余弦值.38．在正方体1111ABCDABCD中，点E、F分别在AB、BC上，且13AEAB，13BFBC．（1）求证：11AFCE；（2）求直线1AF与平面1BEF所成角的正弦值．39．如图，在多面体1111ABCDABCD中，1111,,,AABBCCDD均垂直于平面ABCD，//ADBC，11=2ABBCCDAACC，1=1BB，14ADDD.（1）证明：11AC平面11CDDC；（2）求1BC与平面11AABB所成角的余弦值.40．某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD的边长为3，且60ABC，3AEAF，23BEDF，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．（1）证明PA底面ABCD；（2）设点T为BC上的点，且二面角BPAT的正弦值为2114，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．41．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，侧面PAB底面ABCD，且PA=AB，90PABo.（1）证明：PCBD；（2）若60ABC，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.42．1.如图，正方形ABCD所在平面与等边ABE△所在平面成的锐二面角为60，设平面ABE与平面CDE相交于直线l．（1）求证：//lCD；（2）求直线DE与平面BCE所成角的正弦值．43．如图，在四棱锥PABCD中，//ADBC，ABAD，平面APD平面ABCD，点E在AD上，且ABBCAEED，3PAPDAE.（1）求证：CEPD.（2）设平面PAB平面PCDl，求二面角ElA的余弦值.44．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，120ADC，4BC，M，N分别为BC，PC的中点，1,,CDPDDCPMMD．（1）证明：BCPM；（2）若15PA，求直线BN与平面PDC所成角的正弦值．45．如图，已知点P在圆柱1OO的底面圆O上，120AOPo，圆