【新高考复习】第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1.已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为()A.所有的指数函数都不是单调函数B.所有的单调函数都不是指数函数C.存在一个指数函数，它不是单调函数D.存在一个单调函数，它不是指数函数解析命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数，它不是单调函数.答案C2.设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝π2对称.则下列判断正确的是()A.p为真B.綈p为假C.p∧q为假D.p∧q为真解析p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假.答案C3.2016年巴西里约奥运会，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为()A.(綈p)∨(綈q)B.p∨(綈q)C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q解析命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p)∨(綈q).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p∧q”的否定.答案A4.(2017·西安调研)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根.则下列命题为真命题的是()A.p∧(綈q)B.(綈p)∧qC.(綈p)∧(綈q)D.p∧q解析由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧(綈q)是真命题.答案A5.下列命题中，真命题是()A.∃x0∈R，ex0≤0B.∀x∈R，2xx2C.a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D.“a1，b1”是“ab1”的充分条件解析因为y＝ex0，x∈R恒成立，所以A不正确.因为当x＝－5时，2－5(－5)2，所以B不正确.“ab＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确.当a1，b1时，显然ab1，D正确.答案D6.命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是()A.(0，4]B.[0，4]C.(－∞，0]∪[4，＋∞)D.(－∞，0)∪(4，＋∞)解析因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，所以命题綈p：∃x0∈R，ax20＋ax0＋10，则a0或a0，Δ＝a2－4a0，解得a0或a4.答案D7.(2017·衡阳模拟)已知命题p：∃α∈R，cos(π－α)＝cosα；命题q：∀x∈R，x2＋10.则下面结论正确的是()A.p∧q是真命题B.p∧q是假命题C.綈p是真命题D.綈q是真命题解析对于p：取α＝π2，则cos(π－α)＝cosα，所以命题p为真命题；对于命题q：∵x2≥0，∴x2＋10，所以q为真命题.由此可得p∧q是真命题.答案A8.(2017·江西赣中南五校联考)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋10恒成立.若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为()A.[2，＋∞)B.(－∞，－2]∪(－1，＋∞)C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.(－1，2]解析由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋10恒成立，可得－2m2，若命题p，q均为真命题，则此时－2m≤－1.因为p∧q为假命题，所以命题p，q中至少有一个为假命题，所以m≤－2或m－1.答案B二、填空题9.命题“∃x0∈0，π2，tanx0sinx0”的否定是________.答案∀x∈0，π2，tanx≤sinx10.若命题“∃x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________.解析∵“∃x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，∴a－1＞2或a－1＜－2，∴a＞3或a＜－1.答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)11.(2017·石家庄调研)已知下列四个命题：①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“x≠0且x≠1，则x2－x≠0”②“x1”是“x2－3x＋20”的充分不必要条件③命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋10，则綈p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0④若p∧q为假命题，则p，q均为假命题其中真命题的是________(填序号).解析显然①③正确.②中，x2－3x＋20⇔x2或x1.∴“x1”是“x2－3x＋20”的充分不必要条件，②正确.④中，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，④错误.答案①②③12.已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________.解析若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由∀x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；由∃x0∈R，使x20＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，得a≤4，因此e≤a≤4.答案[e，4]13.(2016·浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A.∀x∈R，∃n∈N*，使得nx2B.∀x∈R，∀n∈N*，使得nx2C.∃x∈R，∃n∈N*，使得nx2D.∃x0∈R，∀n∈N*，使得nx20解析改变量词，否定结论.∴綈p应为：∃x0∈R，∀n∈N*，使得nx20.答案D14.(2017·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋1x≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x20＞x30，则下列命题中为真命题的是()A.(綈p)∧qB.p∧(綈q)C.(綈p)∧(綈q)D.p∧q解析对于p：当x＝－1时，x＋1x＝－2，∴p为假命题.取x0∈(0，1)，此时x20＞x30，∴q为真命题.从而綈p为真命题，(綈p)∧q为真命题.答案A15.(2017·郑州模拟)下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x2”是“1x12”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真.其中说法不正确的序号是________.解析①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x12，则1x－12＝2－x2x0，解得x0或x2，所以“x2”是“1x12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确.答案①②16.已知命题p：∃x∈R，ex－mx＝0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________.解析若p∨(綈q)为假命题，则p假q真.由ex－mx＝0得m＝exx，设f(x)＝exx，则f′(x)＝ex·x－exx2＝（x－1）exx2.当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数单调递增；当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时函数单调递减；当x＜0时，f′(x)＜0，此时函数单调递减.由f(x)的图象及单调性知当x＝1时，f(x)＝exx取得极小值f(1)＝e，所以函数f(x)＝exx的值域为(－∞，0)∪[e，＋∞)，所以若p是假命题，则0≤m＜e；命题q为真命题时，有Δ＝4m2－4≤0，则－1≤m≤1.所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是[0，1].答案[0，1]