【新高考复习】考向30 空间几何体的结构特征、直观图与体积（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考

考向30空间几何体的结构特征、直观图与体积1．（2021·全国高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A．20123B．282C．563D．2823【答案】D【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高2222222h，下底面面积116S，上底面面积24S，所以该棱台的体积121211282164642333VhSSSS.故选：D.2．（2021·全国高考真题）如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点.（1）证明：OACD；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积.【答案】(1)详见解析(2)36【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD因为平面ABD平面BCD=BD,平面ABD⊥平面BCD，AO平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为CD平面BCD，所以AO⊥CD(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连EM因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD所以EF⊥BD,EF⊥CD,BDCDD,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC因为FM⊥BC，FMEFFI,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME则EMF为二面角E-BC-D的平面角,4EMF因为BOOD,OCD为正三角形,所以BCD为直角三角形因为2DEEA,1112(1)2233FMBF从而EF=FM=213AOAOQ平面BCD,所以11131133326BCDVAOS【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.1、解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．2、三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，看不到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测其直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为直观图．3、几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台(2)旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形一边所在的直线或对边中点连线所在直线圆锥直角三角形或等腰三角形一直角边所在的直线或等腰三角形底边上的高所在直线圆台直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线所在直线球半圆或圆直径所在的直线2.三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l4.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3【知识拓展】常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．1．（2021·云南昆明市·高三（文））已知四棱锥PABCD的侧棱均相等，其各个顶点都在球O的球面上，ABBC，90ABC，23AD，2CD，三棱锥PABC的体积为163，则球O的表面积为（）A．25πB．125π6C．32πD．642π32．（2021·云南昆明市·高三（文））已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．33B．233C．3D．233．（2021·全国）在一个棱长为322的正方体内部有一个大球和小球，大球与正方体的六个面都相切，小球可以在正方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球的表面积最大值是___________.4．（2021·全国高三）已知正方形ABCD中，2AB，M，N分别是DC，BC的中点，将ADM△沿AM折起，使得1DN，则折起后四棱锥DABCM的体积为________．1．（2021·全国高三专题练习）已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面//ABC平面DEFG，平面//BEF平面ADGC，2ABAD，1ACEF，则该多面体的体积为（）A．2B．4C．6D．82．（2021·全国高三月考（理））某几何体由一个三棱锥和一个四棱锥组合而成，该几何体的三视图如图所示，若三棱锥的体积为1V，四棱锥的体积为2V，则12:VV（）A．1:4B．1:3C．2:5D．3:43．（2021·全国高三月考（文））在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（）A．等腰梯形B．非矩形的平行四边形C．正五边形D．正六边形4．（2021·全国高三专题练习）四面体VABC的棱VA、VB、VC两两垂直，设VS、AS、BS、CS分别为顶点V、A、B、C所对面的面积，则有（）A．VABCSSSSB．2VABCSSSSC．22VABCSSSSD．2222VABCSSSS5．（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆锥的侧面积（单位：2cm）为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：2cm）是（）A．2B．1C．12D．136．（2021·贵州（理））如图，E是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1的中点，F是棱B1C1上的动点，现有下列命题：①存在点F使得CF⊥EB；②存在点F使得D1F//BE；③存在点F使得△BEF的正视图和侧视图的面积相等；④四面体EBFC的体积为定值.其中所有正确命题的序号为（）A．①③④B．①③C．③④D．①②④7．（2021·全国高一课时练习）设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为（）A．12B．24C．4D．308．（2021·全国高三专题练习）如图所示，三棱柱111ABCABC中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面11EBCF将三棱柱分成体积为1V和2V两部分，那么12:VV______.9．（2021·全国高一课时练习）轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截面面积为________．10．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二开学考试）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，P为线段1BC上的动点，下列说法正确的是________.（1）对任意点P，//DP平面11ABD；（2）三棱锥11PADD的体积为16；（3）线段DP长度的最小值为62；（4）存在点P，使得DP与平面11ADDA所成角的大小为311．（2021·全国高三专题练习）如图所示，已知平行六面体1AC，E是AB中点，过11BDE的截面11DBEF把平行六面体分成两个部分，求左右两部分体积之比.12．（2021·全国高三专题练习）如图所示，已知直三棱柱111ABCABC中，222ABC是用一平面截得的截面，且21AAh，22BBh，23CCh，若ABC的面积为S，求证：介于截面与下底面之间的几何体的体积为12313VShhh.1．（2021·江苏高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（）A．2:1B．2:1C．1:2D．1:22．（2021·全国高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos)Sr（单位：2km），则S占地球表面积的百分比约为（）A．26%B．34%C．42%D．50%3．（2021·北京高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A．33+22B．33C．332D．33+24．（2021·全国高考真题）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．22C．4D．425．（2021·全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A．B．C．D．6．（2021·全国高考真题（理））已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且,1ACBCACBC，则三棱锥OABC的体积为（）A．212B．312C．24D．347．（2021·山东高考真题）直棱柱的底面是边长为a的菱形，侧棱长为h，那么直棱柱的侧面积是______．8．（2020·山东高考真题）已知球的直径为2，则该球的体积是______.9．（2021·全国高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30则该圆锥的侧面积为________.10．（2021·湖南高考真题）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.（1）证明：//PB平面ACE；（2）设1PA，3AD，直线PB与平面ABCD所成的角为45，求四棱锥PABCD的体积.1．【答案】A【分析】由四点共圆，可得出90ADC，进而求出截面圆的直径，再根据体积可求出四棱锥的高，然后根据勾股定理，可求出外接球的半径，最后直接套表面积公式，可求得答案.【详解】如图，F为AC中点，由题意可知PF为四棱锥的高，∵各个顶点都在球O的球面上，90ABC，∴ABCD、、、四点共圆，且AC为直径，∴==90ABCADC，又∵23AD，2CD，∴22=+=12+4=4ACADCD在RtABC中，22=2ACAB，解得22AB，同理可得2BF.∵三棱锥PABC的体积为163,∴11116222332