【新高考复习】考向32 空间点、线、面的位置关系（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题

考向32空间点、线、面的位置关系1．（2021·山东高考真题）已知，表示平面，m，n表示直线，以下命题中正确的选项是（）A．假设m，mn，那么//nB．假设m，n，//，那么//mnC．假设//，m，那么//mD．假设m，n，//m，n//，那么//【答案】C【分析】根据线面垂直的性质定理，可判断A；根据面面平行的性质定理，可判断B、C；根据面面平行的判定定理，可判定D【详解】选项A：假设m，mn，那么//n或n在内，故选项A错误；选项B：假设m，n，//，那么//mn或m与n异面，故选项B错误；选项D：假设m，n，//m，n//，且m、n相交才能判定//，故选项C错误；选项C：依照两平面平行的性质可知C正确．故选：C2．（2021·全国高考真题（理））在正方体1111ABCDABCD中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A．π2B．π3C．π4D．π6【答案】D【分析】平移直线1AD至1BC，将直线PB与1AD所成的角转化为PB与1BC所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BCPCPB，因为1AD∥1BC，所以1PBC或其补角为直线PB与1AD所成的角，因为1BB平面1111DCBA，所以11BBPC，又111PCBD，1111BBBDB，所以1PC平面1PBB，所以1PCPB，设正方体棱长为2，则1111122,22BCPCDB，1111sin2PCPBCBC，所以16PBC.故选：D1、共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．2、异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3、求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是错误!未找到引用源。，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间中直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：0，π2.3．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．【知识拓展】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查．1．（2021·广西玉林市·高一期中）在正方体1111ABCDABCD中，E，F，P，Q分别为1AB，11BD，1AD，1CD的中点，则直线EF与PQ所成角的大小是（）．A．π4B．π6C．π3D．π22．（2021·吉林长春市·（理））给出下列命题：①若ABC的三条边所在直线分别交平面于,,PQR三点，则,,PQR三点共线；②若直线,ab是异面直线，直线,bc是异面直线，则直线,ac是异面直线；③若三条直线,,abc两两平行且分别交直线l于,,ABC三点，则这四条直线共面；④对于三条直线,,abc，若ac，bc，则//ab.其中所有真命题的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．②④3．（2021·全国）如图，G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有______.4．（2022·全国高三专题练习（理））将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：①AB，CD所成的角为60；②ADC为等边三角形；③ACBD；④AB与平面BCD所成角60.其中真命题是______.（请将你认为是真命题的序号都填上）1．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））长方体1111ABCDABCD中，5AB，1AD，12AA，则异面直线1AD与11AC成角余弦值为（）A．22B．23C．34D．262．（2021·嘉峪关市第一中学高三（文））已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，则n的一个充分条件是（）A．，nB．//，nC．，n//D．//m，nm3．（2021·全国（理））在正四面体ABCD中，E，F分别为BCD△，ACD△的中心，则下列说法中不正确的是（）A．//EFABB．CD平面ABEFC．异面直线AB，CD所成的角为90°D．13AEEF4．（2021·全国）如图，在三棱柱111ABCABC中，ABAC，1ABAC，1ACAA，12BCACAC，则异面直线1BA与1AC所成的角等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°5．（2022·全国高三专题练习）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M、N、F分别是B1C1、CC1、AB的中点，则下列说法正确的是（）A．MN12EF，且MN与EF平行B．MN12EF，且MN与EF平行C．MN12EF，且MN与EF异面D．MN12EF，且MN与EF异面6．（2021·全国高三）（多选题）在三棱锥SABC中，SBAB，SCAC，ACBC，1BSBCAC，则下列结论中正确的是（）A．ACBSB．SB平面ABCC．平面SBC平面SACD．点B到平面ACS的距离为327．（2021·陕西高三（文））在空间中，给出下面四个命题，其中真命题的个数为___________.①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直；②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则//；③若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线.8．（2021·山西大附中高三（理））在棱长为4的正方体1111ABCDABCD中，,EF分别是BC和11CD的中点，经过点,,AEF的平面把正方体1111ABCDABCD截成两部分，则截面与11BCCB的交线段长为________.9．（2021·全国高三（理））如图，在正方体1111ABCDABCD﹣中，E为AB的中点，则直线1BC与直线1DE所成角的正切值是___________.10．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三（文））如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为______________．11．（2021·全国高三专题练习（理））已知正方体1111ABCDABCD中，,EF分别为棱11,DDBB的中点.（1）求证；1,,,AECF四点共面；（2）求二面角11AEBC的余弦值.12．（2021·四川省绵阳南山中学高三（文））如图，四边形ABEF为正方形，//ADBC，ADDC，22ADDCBC，（1）求证：点D不在平面CEF内：（2）若平面ABCD平面ABEF，且2AD，求点D到平面CEF的距离．1．（2021·湖南高考真题）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若//mn，//n，则//mB．若//mn，//m，//n，则//C．若，m，n，则mnD．若mn，m，n，则2．（2019·全国高考真题（文））设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面3．（2019·上海高考真题）已知平面、、两两垂直，直线abc、、满足：,,abc，则直线abc、、不可能满足以下哪种关系A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面4．（2007·江西高考真题（理））如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误的命题是A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°5．（2012·重庆高考真题（文））设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是（）A．(0,2)B．(0,3)C．(1,2)D．(1,3)6．（2014·全国高考真题（文））已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为A．16B．36C．13D．337．（2019·北京高考真题（理））已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．8．（2011·全国高考真题（文））已知正方体1111ABCDABCD中，E为11CD的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.9．（2016·全国高考真题（理））α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号）10．（2020·全国高考真题（文））如图，在长方体1111ABCDABCD中，点E，F分别在棱1DD，1BB上，且12DEED，12BFFB．证明：（1）当ABBC时，EFAC；（2）点1C在平面AEF内．1．【答案】C【分析】首先把两条直线平移了有交点，再求其直线所成的角.【详解】如图连接11AC，1BC，则F是11AC的中点，又E为1AB的中点，所以1//EFBC，连接1DC，则Q是1DC的中点，又P为1AD的中点，所以11//PQAC，于是11ACB是直线EF与PQ所成的角或其补角．易知11ACB△是正三角形，所以11π3ACB．故选：C2．【答案】B【分析】根据平面的基本性质，以及空间中两直线的位置关系，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，若ABC的三条边所在直线分别交平面于,,PQR三点，可得,,PQR且,,PQR平面ABC，所以,,PQR三点必在两平面的交线上，所以,,PQR三点共线，所以①正确；对于②中，若直线,ab是异面直线，直线,bc是异面直线，则直线,ac可能相交，平行或异面直线，所以②错误；对