【新高考复习】考向31 与球有关的切、接应用问题（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题

考向31与球有关的切、接应用问题1．（2021·天津高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3B．4C．9D．12【答案】B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即3ADBD，设球的半径为R，则343233R，可得2R，所以，44ABADBDBD，所以，1BD，3AD，CDAB，则90CADACDBCDACD，所以，CADBCD，又因为ADCBDC，所以，ACDCBD△∽△，所以，ADCDCDBD，3CDADBD，因此，这两个圆锥的体积之和为21134433CDADBD.故选：B.2．（2016·全国高考真题（文））在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则该球体积V的最大值是A．4B．92C．6D．323【答案】B【详解】试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.考点：球及其性质.1、解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．2、求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝R2－d2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.【知识拓展】与球有关的组合体的常用结论（1）长方体的外接球：①球心：体对角线的交点；②半径：222(,,2abcrabc为长方体的长、宽、高).（2）正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球：①外接球：球心是正方体的中心，半径3(2raa为正方体的棱长)；②内切球：球心是正方体的中心，半径(2ara为正方体的棱长)；③与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心，半径22ra(a为正方体的棱长).（3）正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：①外接球：球心是正四面体的中心，半径6(4raa为正四面体的棱长)；②内切球：球心是正四面体的中心，半径26(1raa为正四面体的棱长).1．（2021·河南驻马店市·高三月考（理））三棱锥SABC的各个顶点都在球O的表面上，且ABC是等边三角形，SA底面ABC，4SA，6AB.若点D在线段SA上，且3ADSD，则过点D的平面截球O所得截面的最小面积为（）A．3B．4C．8D．132．（2021·全国高三月考（理））某圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，正方体1111ABCDABCD内接于这个圆锥的内切球，则该圆锥的体积与正方体1111ABCDABCD的体积的比值为（）A．4B．938C．43D．2433．（2021·山西长治市·高三月考（文））已知三棱锥A－BCD中，BC＝CD＝2，BD＝22，△ABD是等边三角形，平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为__________.4．（2021·全国高一课时练习）已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是_______．1．（2021·河南（文））已知一个圆锥的母线长为26，侧面展开图是圆心角为233的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（）A．36B．48C．36D．2422．（2021·全国高一课时练习）一个棱长为62的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是（）A．4B．6C．12D．243．（2021·河南高三月考（理））已知三棱柱111ABCABC的6个顶点全部在球O的表面上，ABAC，120BAC，三棱柱111ABCABC的侧面积为843，则球O表面积的最小值是（）A．4B．16C．163D．3234．（2021·全国高一单元测试）已知正方体的体积是64，则其外接球的表面积是（）A．323B．192C．48D．365．（2022·全国高三专题练习）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．B．34C．2D．46．（2021·河北沧州·高三月考）（多选题）下图中正方体1111ABCDABCD边长为2，则下列说法正确的是（）A．平面1CBD平面1ABDB．正方体1111ABCDABCD外接球与正四面体11ADBC外接球半径相等均为3C．正四面体11ADBC内切球半径为33D．四面体1AADB内切球半径为3337．（2021·全国高一课时练习）如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥的体积为423，则该半球的表面积为________．8．（2021·全国高一课时练习）一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的表面积为_________．9．（2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA平面ABC，6PA，23AB，2AC，4BC，若D为BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是___________.10．（2021·广东高三月考）已知在四面体ABCD中，22,5ABCDADACBCBD，则四面体ABCD的外接球表面积为______.11．（2021·四川成都七中高二开学考试（文））如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中．求：（1）直线1AB与1BC所成的角的大小；（2）直线1DB与平面ABCD所成的角的余弦值；（3）正方体1111ABCDABCD的外接球体积．12．（2021·全国高一课时练习）如图，在等腰梯形ABCD中，22ABDC，60DABE，为AB的中点，将ADE与BEC△分别沿EDEC、向上折起，使AB、重合于点P，求三棱锥PDCE的外接球的体积.1．（2020·天津高考真题）若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．12B．24C．36D．1442．（2020·全国高考真题（理））已知,,ABC为球O的球面上的三个点，⊙1O为ABC的外接圆，若⊙1O的面积为4π，1ABBCACOO，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π3．（2020·全国高考真题（理））已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A．3B．32C．1D．324．（2019·全国高考真题（理））已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．86B．46C．26D．65．（2013·辽宁高考真题（文））已知直三棱柱1116.34ABCABCOABAC的个顶点都在球的球面上若，，,ABAC112AAO，则球的半径为A．3172B．210C．132D．3106．（2011·全国高考真题（理））已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23ABBC，则棱锥OABCD的体积为_____．7．（2020·全国高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．8．（2013·天津高考真题（文））已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为92,则正方体的棱长为.9．（2013·福建高考真题（理））已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_____10．（2012·辽宁（文））已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23正方形．若PA=26，则△OAB的面积为______________.1．【答案】A【分析】如图，设ABC外接圆的圆心为G，求出AG和外接球的半径R,取SA的中点E，求出OD,即得解.【详解】如图，设ABC外接圆的圆心为G，则外接圆半径233233AG，设三棱锥SABC的外接球的球心为O，则外接球的半径22(23)24R.取SA的中点E，由4SA，3ADSD，得1DE，22(23)113OD.则过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径为224(13)3，过点D的平面截球O所得截面的最小面积为2(3)3.故选：A2．【答案】B【分析】由侧面展开图的半径，求圆锥底面半径及内切球半径，利用圆锥的体积公式求体积，再由正方体的外接球为圆锥的内切球，求正方体棱长，进而求体积，即可知它们的体积比.【详解】根据题意，设圆锥的底面半径为r，则24r，得2r=，∴圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，其内切圆半径为31234233，设正方体的棱长为a，则23233a，得43a，∴正方体的体积为6427，又圆锥的高为224223h，则体积为833，∴圆锥的体积与正方体1111ABCDABCD的体积的比值为938．故选：B3．【答案】323【分析】由己知得出BCCD，再由平面ABD⊥平面BCD，可得出ABD△的外心O就是三棱锥ABCD外接球球心，由此可得半径，从而得面积．【详解】因为BC＝CD＝2，BD＝22，所以222BCCDBD，所以BCCD，取BD中点E，连接AE，E则BCD△外心，△ABD是等边三角形，AEBD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCDBD，AE平面ABD，所以AE⊥平面BCD，三棱锥ABCD外接球球心在AE上，所以ABD△的外心O就是三棱锥ABCD外接球球心，232622323OA，球面积为22632433S．故答案为：323．4．【答案】8【分析】由球与正方体的各棱相切可得球的半径，从而可求其表面积.【详解】过正方体的对角面作截面如图，故球的半径2r，其表面积24(2)8S．故答案为：8.1．【答案】A【分析】先利用圆锥的侧面展开图为扇形求出圆锥的底面半径r和圆锥的高h，设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R,利用勾股定理求出R，即可求出球的体积.【详解】设圆锥的底面半径为r，由侧面展开图是圆心角为233的扇形得：232632r，解得：22r.作出圆锥的轴截面如图所示：设圆锥的高为h，则2242622h.设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R,则有22RhRr，即22422RR，解得：R=3，所以该圆锥的外接球的体积为334433633R.故选：A.2．【答案】C【分析】在一个棱长为62的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长，由此能求出正方体的外接球的表面积