【新高考复习】考向34 空间中的垂直关系-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用

考向34空间中的垂直关系1．（2011·浙江高考真题（理））下列命题中错误．．的是（）A．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面C．如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面【答案】B【分析】对选项A，B，C可通过作图证明，对D，可以运用反证法的思维方式证明正确性.【详解】对A，如图，平面平面，l，a，若//al，由线面平行的判定定理可得//a，故A正确；由A可知，B错误；对C，如图，设a，b，在内直线,ab外任取一点O，作OAa，因为平面平面，所以OA，所以OAl，作OBb，因为平面平面，所以OB，所以OBl，又因为OAOBO，所以l平面，故C正确；对D，若平面内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定，则有平面垂直于平面，与平面不垂直于平面矛盾，所以根据逆否命题可知，如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面，故D正确.故选：B2．（2021·山东高考真题）如下图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD平面ABCD，2SASD，3AB．（1）求SA与BC所成角的余弦值；（2）求证：ABSD．【答案】（1）34；（2）证明见解析．【分析】(1)由题意可得SAD即为SA与BC所成的角，根据余弦定理计算即可；(2)结合面面垂直的性质和线面垂直的性质即可证明.【详解】【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质【解】（1）因为//ADBC，因此SAD即为SA与BC所成的角，在SAD中，2SASD，又在正方形ABCD中3ADAB，因此2222222323cos22234SAADSDSADSAAD，因此SA与BC所成角的余弦值是34．（2）因为平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，在正方形ABCD中，ABAD，因此AB平面SAD，又因为SD平面SAD，因此ABSD．(1)面面垂直判定的两种方法与一个转化①两种方法：(ⅰ)面面垂直的定义；(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．②一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2)面面垂直性质的应用①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．1．直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直l⊥al⊥ba∩b＝Oa，b⊂α⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α3.空间角(1)直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．②范围：0，π2.(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．③二面角的平面角的范围：[0，π]．【知识拓展】1．（2021·河南高三月考（文））设，是两个不重合的平面，m，n是两条直线，下列命题中，真命题是（）A．若mn，n//，则mB．若//m，//m，则//C．若m，//m，则D．若mn，n，，则m2．（2021·全国高一课时练习）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，H是EF的中点.现沿AE、AF、EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是（）A．AG平面EFGB．AH平面EFGC．GF平面AEFD．GH平面AEF3．（2021·陕西汉中·高三月考（理））如图，在平面四边形ABCD中，4,42,120,DADCBABCADCE＝＝＝＝为AC的中点，将ABC沿AC折起，使得4BD，以D为球心，DE为半径的球与三棱锥BADC各面交线的长度和为___________.4．（2021·四川德阳·（理））在直角三角形ABC中，1AC，D是斜边AB的中点，将BCD△沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CBAD，则BC边长的最大值为______.1．（2021·大名县第一中学高二开学考试）已知直线a，b和平面，下列推论错误的是（）A．a，babB．//ab，abC．abrr，//ba或aD．//a，//bab2．（2021·浙江高三专题练习）在四边形ABCD中，//,,45,90ADBCADABBCDBAD，将ABD△沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，如图，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是（）A．平面ABD平面ABCB．平面ADC平面ABCC．平面ABC平面BDCD．平面ADC平面BDC3．（2022·全国高三专题练习（理））如题图所示，在长方体''''ABCDABCD中，2ABBC，对角线'AC与平面ABCD所成的角为60，若一个球的直径与对角线'AC相等，则该球的体积为（）A．83B．163C．323D．25634．（2022·全国高三专题练习（理））《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.则在阳马PABCD中，鳖臑的个数为（）A．6B．5C．4D．35．（2022·全国（理））如图，在圆柱1OO中，正三棱柱111ABCABC的所有顶点分别在圆柱的上、下底面的圆周上，F为11AC上一点，112AFFC，E为BC的中点，则下列关系正确的是（）①1OF//平面1ABC；②1OF//平面11ABC；③1OF平面1AAE；④1OF平面1AAB．A．①②B．①③C．②③D．③④6．（2021·全国高三专题练习（理））《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如，堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABCABC中，ACBC，若12,2AAAB，当阳马11BAACC的体积最大时，堑堵111ABCABC中异面直线1,ACAB所成角的大小是（）A．6B．4C．3D．27．（2022·全国（文））在如图所示的直三棱柱111ABCABC中，14AA，ABAC，过点1A作平面分别交棱AB，AC于点D，E，且AFDE，160AAF°，则截面1ADE△面积的最小值为（）A．163B．323C．363D．4838．（2022·全国高三专题练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑是四个面均为直角三角形的四面体．在如图所示的堑堵111ABCABC中，已知4ABBC，42AC，若阳马111CABBA的侧棱18CA，则鳖臑1CABC中，点C到平面1CAB的距离为________．9．（2021·全国）如图，在棱长为22的正方体1111ABCDABCD中，E，F在线段BD上，H，G分别在线段AD，AB上，且//EHFG，2FGEH，221DEHE，动点P在平面11BDDB内，若PH，PG与平面11BDDB的所成角相等，则线段BP长的最小值是______．10．（2021·通辽新城第一中学高三（理））如图，长为4，宽为2的矩形纸片ABCD中，E为边AB的中点，将A沿直线DE翻转至1ADE△(1A平面ABCD)，若M为线段1AC的中点，则在ADE翻转过程中，下列正确的命题序号是___________.①//MB平面1ADE；②异面直线BM与1AE所成角是定值；③三棱锥1AADE体积的最大值是223；④一定存在某个位置，使1DEAC11．（2021·云南昆明市·高三（文））如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，M是PD的中点．（1）证明：AM平面PCD；（2）若2AB，求点C到平面PAB的距离．12．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，△PAD是正三角形，侧面PAD底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：AM平面PCD；（2）求三棱锥AMDC与四棱锥PABCD的体积比.1．（2020·山东高考真题）已知正方体1111ABCDABCD（如图所示），则下列结论正确的是（）A．11//BDAAB．11//BDADC．11BDACD．111BDAC2．（2007·四川高考真题）如图，1111ABCDABCD为正方体，下面结论错误的是（）A．//BD平面11CBDB．1ACBDC．1AC平面11CBDD．异面直线AD与1CB所成的角为603．（2008·湖南高考真题（文））已知直线m,n和平面满足,则A．B．C．D．4．（2013·全国高考真题（文））已知正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于A．23B．33C．23D．135．（2012·安徽高考真题（理））设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm则“”是“ab”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分不必要条件6．（2021·全国高考真题）（多选题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MNOP的是（）A．B．C．D．7．（2019·全国高考真题（文））已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为___________．8．（2007·浙江高考真题（理））已知点O在二面角AB的棱上，点P在内，且45POB．若对于内异于O的任意一点Q，都有45POQ，则二面角AB的大小是_________．9．（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，11BFAB.（1）求三棱锥FEBC的体积；（2）已知D为棱11AB上的点，证明：BFDE.10．（2021·全国高考真题（文））如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM．（1）证明：平面PAM平面PBD；（2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积．1．