【新高考复习】考向42 抛物线-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）(3119

考向42抛物线1．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)ypxp的焦点到直线1yx的距离为2，则p（）A．1B．2C．22D．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p，其到直线10xy的距离：012211pd，解得：2p(6p舍去).故选：B.2．（2021·全国·高考真题）已知O为坐标原点，抛物线C：22ypx(0p)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP，若6FQ，则C的准线方程为______.【答案】32x【分析】先用坐标表示PQ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p，即得结果.【详解】抛物线C：22ypx(0p)的焦点,02pF,∵P为C上一点，PF与x轴垂直，所以P的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P的纵坐标为p,不妨设(,)2pPp,因为Q为x轴上一点，且PQOP，所以Q在F的右侧，又||6FQ，(6,0),(6,)2pQPQpuuur因为PQOP，所以PQOP2602pp,0,3ppQ，所以C的准线方程为32x故答案为：32x.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.3．确定及应用抛物线性质的关键与技巧：(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4．直线AB过抛物线22(0)ypxp的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：（1）y1y2＝－p2，x1x2＝p24.（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥122xx＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.（3）1|AF|＋1|BF|为定值2p.（4）弦长AB＝2psin2α(α为AB的倾斜角)．（5）以AB为直径的圆与准线相切．（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线．2．抛物线的标准方程（1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)ypxp；（2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)ypxp；（3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)xpyp；（4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)xpyp.3．抛物线的几何性质标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp图形几范围0,xyR0,xyR0,yxR0,yxR何性质对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称焦点(,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF准线方程2px2px2py2py顶点坐标原点(0，0)离心率1e4．抛物线的焦半径抛物线上任意一点00(),Pxy与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径．根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp焦半径公式0||2pPFx0||2pPFx0||2pPFy0||2pPFy【知识拓展】抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，11(,)Axy，22(,)Bxy，则抛物线方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp焦点弦公式12||()ABpxx12||()ABpxx12||()ABpyy12||()ABpyy其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径．对于抛物线22(0)ypxp，由(,)2pAp，(,)2pBp，可得||2ABp，故抛物线的通径长为2p．1．（2021·全国·模拟预测（理））已知抛物线28yx的准线为l，点P是抛物线上的动点，直线1l的方程为230xy，过点P分别作PMl，垂足为M，1PNl，垂足为N，则PMPN的最小值为（）A．655B．755C．5D．35252．（2021·上海·模拟预测）过点2,4A，且顶点在原点､对称轴为坐标轴的抛物线的标准方程为___________.3．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（理））已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4FPFQ，则QF_____________．4．（2020·陕西富平·二模（文））如图，过抛物线220ypxp的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，2BCBF，且3AF，则p___________.1．（2021·湖南湘潭·一模）已知抛物线C：22ypx（0p）的焦点为F，点T在C上，且52FT，若点M的坐标为0,1，且MFMT，则C的方程为（）A．22yx或28yxB．2yx或28yxC．22yx或24yxD．2yx或24yx2．（2021·吉林长春·一模（理））已知M是抛物线24yx上的一点，F是抛物线的焦点，若以Fx为始边，FM为终边的角60xFMo，则FM等于（）A．2B．433C．23D．43．（2019·吉林长春·一模（理））已知O为坐标原点，抛物线2:8Cyx上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C的准线上的动点，则POPA的最小值为（）A．4B．43C．46D．634．（2021·吉林·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）一模（文））已知P是抛物线24yx上的一动点，F是抛物线的焦点，点(3,1)A，则||||PAPF的最小值为（）A．3B．23C．4D．425．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（理））抛物线22yx的准线方程是（）A．12xB．12xC．18yD．18y6．（2021·河南·模拟预测（文））抛物线C：22ypx0p的焦点为F，过点4,6A且平行于x轴的直线与线段AF的中垂线交于点M，若点M在抛物线C上，则MF（）A．52或72B．32或52C．1或3D．2或47．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学二模（文））已知点0,3A，抛物线C：220ypxp的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若:1:2FMMN，则p的值等于________.8．（2021·浙江·模拟预测）设正四面体ABCD的棱长是1，E、F分别是棱AD、BC的中点，P是平面ABC内的动点.当直线EF、DP所成的角恒为时，点P的轨迹是抛物线，此时AP的最小值是______.9．（2021·陕西富平·二模（理））已知F是抛物线24yx的焦点，P是抛物线上的一个动点，A（3，1），则APF周长的最小值为___________.10．（2021·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：220ypxp上一点00(4,)(0)Syy到焦点F的距离5SF.不经过点S的直线l与E交于A，B.（1）求抛物线E的标准方程；（2）若直线AS，BS的斜率之和为2，证明：直线l过定点.11．（2021·云南五华·模拟预测（理））已知抛物线C：220ypxp，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，4FM，120OFM．（1）求C的标准方程；（2）设点0,2Qx在C上，过Q作两条互相垂直的直线QA，QB，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线AB恒过定点．12．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线2:20Cxpyp的焦点F到其准线的距离为2，过点F的直线交抛物线于A、B两点，直线AO、BO分别与直线2y交于点M、N（O为原点）.（1）求抛物线C的方程；（2）已知点0,5Q，试问：MNQ△的外接圆是否恒经过y轴上的定点P（异于点Q）？若是，求出点P的坐标；若不是，请说明理由.1．（2014·江西·高考真题（理））在平面直角坐标系中，,AB分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线240xy相切，则圆C面积的最小值为（）A．45B．34C．(625)D．542．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线（）．A．经过点OB．经过点PC．平行于直线OPD．垂直于直线OP3．（2020·全国·高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A．2B．3C．6D．94．（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y2=2px（p0）的焦点是椭圆2231xypp的一个焦点，则p=A．2B．3C．4D．85．（2012·四川·高考真题（文））已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点0(2,)My．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则OMA．22B．23C．4D．256．（2014·陕西·高考真题（文））抛物线24yx的准线方程为_____．7．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于𝑥轴，若l被抛物线24yax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.8．（2021·北京·高考真题）已知抛物线24yx的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若6MF，则点M的横坐标为_______；MNF的面积为_______．9．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点O，椭圆2214xy的顶点分别为1A，2A，1B，2B，其中点2A为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点1A的直线l与抛物线交于M，N两点，且12//OMONBA，求直线l的方程.10．（2021·山东·高考真题）已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离为1，且到y轴的距离是38．（1）求抛物线的标准方程；（2）假设直线l通过点3,1M，与抛物线相交于A，B两点，且OAOB，求直线l的方程．1．【答案】B【分析】令抛物线焦点为F，利用抛物线定义可得||||PMPNPFPN，再求点F到直线1l的距离即可.【详解】令抛物线28yx的焦点为F，则(2,0)F，连接PF，如图，因l是抛物线28yx的准线，点P是抛物线上的动点，且PMl于M，于是得||||PMPF，点(2,0)F到直线1l：230xy的距离22|2203|7552(1)d，又1PNl于N，显然点P在点F与N之间，于是有||||PMPNPFPNd，当且仅当F，P，N三点共线时取“=”，所以PMPN的最小值为755d.故选：B