【新高考复习】考点15 利用导数研究函数的单调性（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（

考向15利用导数研究函数的单调性1．（2014·全国高考真题（文））若函数lnfxkxx在区间1,上单调递增，则实数k的取值范围是A．,2B．,1C．2,D．1,【答案】D【详解】试题分析：，∵函数lnfxkxx在区间1,单调递增，∴在区间1,上恒成立．∴，而在区间1,上单调递减，∴．∴的取值范围是1,．故选D．考点：利用导数研究函数的单调性.2．（2021·全国高考真题（理））已知0a且1a，函数()(0)axxfxxa．（1）当2a时，求fx的单调区间；（2）若曲线yfx与直线1y有且仅有两个交点，求a的取值范围．【答案】（1）20,ln2上单调递增；2,ln2上单调递减；（2）1,,ee.【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线yfx与直线1y有且仅有两个交点等价转化为方程lnlnxaxa有两个不同的实数根，即曲线ygx与直线lnaya有两个交点，利用导函数研究gx的单调性，并结合gx的正负，零点和极限值分析gx的图象，进而得到ln10aae，发现这正好是0gage，然后根据gx的图象和单调性得到a的取值范围.【详解】（1）当2a时，22222ln2222ln2,242xxxxxxxxxxxfxfx,令'0fx得2ln2x,当20ln2x时，0fx,当2ln2x时，0fx,∴函数fx在20,ln2上单调递增；2,ln2上单调递减；（2）lnln1lnlnaxaxxxafxaxxaaxaxa,设函数lnxgxx,则21lnxgxx,令0gx，得xe,在0,e内0gx,gx单调递增；在,e上0gx,gx单调递减；1maxgxgee,又10g，当x趋近于时，gx趋近于0，所以曲线yfx与直线1y有且仅有两个交点，即曲线ygx与直线lnaya有两个交点的充分必要条件是ln10aae,这即是0gage,所以a的取值范围是1,,ee.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)在定义域内解不等式f′(x)0，得单调递增区间．(4)在定义域内解不等式f′(x)0，得单调递减区间．[提醒]求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．2.解决含参数函数的单调性问题应注意的2点(1)研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．3.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．4.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立列出不等式；②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；③对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0，若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．[提醒]f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任意一个非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。【知识拓展】1．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）已知aR，则“2a”是“2lnfxxxax在0,内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））已知定义在（0，+∞）上的函数满足2ln1xexfxxfxxxx，则下列不等式一定正确的是（）A．1412fefB．421fefC．4293effD．3116222eff3．（2021·全国高三其他模拟）设函数fx是函数fxxR的导函数，已知33fxfx，且2fxfx，31fe，11f，则使得321xfxe成立的x的取值范围是（）A．2,B．0,C．1,D．2,4．（2021·福建厦门市·高三二模）（多选题）达芬奇的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽，达芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂项链所形成的曲线称为悬链线.建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为()cos()(0)xfxahaa，双曲余弦函数cos()2xxeehx则以下正确的是（）A．fx是奇函数B．fx在,0上单调递减C．xR，fxaD．0,a，2fxx1．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））已知实数a，b，c满足lnbaec，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．cbaC．bcaD．acb2．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）已知实数x，y，z满足lnyxexye且1lnzxezex，若1y，则（）A．xyzB．xzyC．yzxD．yxz3．（2021·重庆高三其他模拟）若函数fx的导函数为fx，对任意,0,sincosxfxxfxx恒成立，则（）A．53264ffB．53264ffC．53264ffD．53264ff4．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（理））偶函数f(x)满足44fxfx，当x(0，4]时，ln(2)()xfxx，不等式20fxafx在[200,200]上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围是（）A．1ln6,ln23B．1ln2,ln63C．1ln2,ln63D．1ln6,ln235．（2021·全国高三其他模拟）已知f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）＝xxe，若关于x的方程2f2（x）+（2a﹣1）f（x）﹣a＝0有且只有2个实数根，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1e，﹣22e]B．[﹣1e，﹣22e）C．（﹣22e，0）D．（﹣22e，0）∪{﹣1e}6．（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知函数tanfxx，其中22x，当10fx时，,xab；又函数2sin23212gxxaxmx在,ab上单调递增，则实数m的最大值是（）A．2B．32C．1D．127．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）已知函数2sinxxfxxee，则不等式21210faafa的解集为___________.8．（2021·辽宁高三其他模拟）若函数sin2fxxax在0,4上单调递增，则实数a的取值范围是____________________9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数2lg1sin2fxxxxx，若220xfaxe在0,x上恒成立，则正实数a的取值范围为________．10．（2021·南昌市八一中学高三三模（理））已知等差数列na的前n项和为nS，满足22sin430,4aa202020203cos404aa，则2021S___________.11．（2021·陕西咸阳市·高三其他模拟）已知函数1()lnfxmxnx，其中,mnR.（1）若(1)0f，试判断函数()fx的单调性；（2）若,0ab，求证：11ln12222baab.12．（2021·福建厦门市·高三二模）已知函数21()(1)()2xfxxaxxaeaR（1）讨论fx的单调性；（2）若0,1a，设0gxfxf（i）证明：gx有唯一正零点：（ii）记gx的正零点为0x，证明：当00,xx时，11xxea1．（2012·辽宁高考真题（文））函数y=12x2㏑x的单调递减区间为A．（1,1]B．（0,1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）2．（2015·陕西高考真题（文））设()sinfxxx，则()fxA．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数3．（2012·浙江高考真题（文））设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数A．若ea+2a=eb+3b，则a＞bB．若ea+2a=eb+3b，则a＜bC．若ea-2a=eb-3b，则a＞bD．若ea-2a=eb-3b，则a＜b4．（2013·浙江高考真题（文））已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．5．（2015·福建高考真题（理））若定义在R上的函数fx满足01f，其导函数fx满足1fxk，则下列结论中一定错误的是（）A．11fkkB．111fkkC．1111fkkD．111kfkk6．（2017·山东高考真题（文））若函数exfx(e=2.71828,是自然对数的底数)在fx的定义域上单调递增,则称函数fx具有M性质,下列函数中具有M性质的是A．2xfxB．2fxxC．-3xfxD．cosfxx7．（2015·全国高考真题（理））设函数'()fx是奇函数()fx（xR）的导函数，(1)0f，当0x时，'()()0xfxfx，则使得()0fx成立的x的取值范围是A．(,1)(0,1)B．(1,0)(1,)-??C．(,1)(1,0)D．(0,1)(1,)8．（2017·江苏高考真题）已知函数3xx1fx=x2x+e-e，其中e是自然数对数的底数，若2fa-1+f2a0，则实数a的取值范围是_________．9．（2014·全国高考真题（理））若函数()cos2sinfxxax在区间(,)62内是减函数，则实数a的取值范围是_______.10．（2021·全国高考真题（文））已知函数32()1fxxxax．（1）讨论fx的单调性；（2）求曲线yfx过坐标原点的切线与曲线yfx的