【新高考复习】第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A.－43B.－34C.3D.2解析由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d＝|1×a＋4－1|1＋a2＝1，解之得a＝－43.答案A2.(2017·长春模拟)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2x＋y－5＝0B.2x＋y－7＝0C.x－2y－5＝0D.x－2y－7＝0解析∵过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，∵圆心与切点连线的斜率k＝1－03－1＝12，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B.答案B3.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4，故选B.答案B4.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点.答案C5.(2017·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()A.y＝－34B.y＝－12C.y＝－32D.y＝－14解析圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC|＝（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－12.故选B.答案B二、填空题6.(2016·全国Ⅲ卷)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x－3y＋6＝0，x2＋y2＝12，得y2－33y＋6＝0，解得y1＝3，y2＝23，∴A(－3，3)，B(0，23).过A，B作l的垂线方程分别为y－3＝－3(x＋3)，y－23＝－3x，令y＝0，得xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.答案47.(2017·兰州月考)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________.解析把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圆C1的圆心坐标是(4，2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d＝（4＋2）2＋（2＋1）2＝35.所以，|PQ|的最小值是35－5.答案35－58.(2017·贵阳一模)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________.解析设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝|PM|2－|MQ|2＝|PM|2－1.要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离.设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝22.所以|PM|的最小值为22.所以|PQ|＝|PM|2－1≥（22）2－1＝7.答案7三、解答题9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.(1)求k的取值范围；(2)若OM→·ON→＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以|2k－3＋1|1＋k21.解得4－73k4＋73.所以k的取值范围为4－73，4＋73.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝4（1＋k）1＋k2，x1x2＝71＋k2.OM→·ON→＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝4k（1＋k）1＋k2＋8.由题设可得4k（1＋k）1＋k2＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上，所以|MN|＝2.10.已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.法一(1)证明由y＝kx＋1，（x－1）2＋（y＋1）2＝12，消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝28－4k＋11k21＋k2＝211－4k＋31＋k2，令t＝4k＋31＋k2，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－34，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝4k＋31＋k2的最大值为4，此时|AB|最小为27.法二(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝523＝R，所以点P(0，1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0，1)的弦，只有与PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0，1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝212－5＝27，即直线l被圆C截得的最短弦长为27.11.(2017·衡水中学月考)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为()A.1B.3C.19D.49解析x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则a2＋（2b）2＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以1a2＋1b2＝1a2＋1b2a2＋4b29＝195＋a2b2＋4b2a2≥195＋2a2b2·4b2a2＝1，当且仅当a2b2＝4b2a2，即a＝±2b时取等号.答案A12.(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－34解析由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1，解得k＝－43或k＝－34，故选D.答案D13.已知曲线C：x＝－4－y2，直线l：x＝6，若对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的点Q使得AP→＋AQ→＝0，则m的取值范围为________.解析曲线C：x＝－4－y2，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且xP∈[－2，0]，对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的点Q使得AP→＋AQ→＝0，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x＝6，∴m＝6＋xP2∈[2，3].答案[2，3]14.(2017·湖南省东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)设圆心C(a，0)a＞－52，则|4a＋10|5＝2⇒a＝0或a＝－5(舍).所以圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2＋y2＝4，y＝k（x－1），得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝2k2k2＋1，x1x2＝k2－4k2＋1.若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒y1x1－t＋y2x2－t＝0⇒k（x1－1）x1－t＋k（x2－1）x2－t＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒2（k2－4）k2＋1－2k2（t＋1）k2＋1＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立.