【新高考复习】考向41 双曲线-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）(3119

考向41双曲线1．（2021·山东·高考真题）已知1F是双曲线22221xyab（0a，0b）的左焦点，点P在双曲线上，直线1PF与x轴垂直，且1PFa，那么双曲线的离心率是（）A．2B．3C．2D．3【答案】A【分析】易得1F的坐标为,0c，设P点坐标为0,cy，求得20bya，由1PFa可得ab，然后由a，b，c的关系求得222ca，最后求得离心率即可.【详解】1F的坐标为,0c，设P点坐标为0,cy，易得220221cyab，解得20bya，因为直线1PF与x轴垂直，且1PFa，所以可得2baa，则22ab，即ab，所以22222caba，离心率为2e．故选：A.2．（2021·全国·高考真题（理））已知12,FF是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且121260,3FPFPFPF，则C的离心率为（）A．72B．132C．7D．13【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PFPF，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PFPF，由双曲线的定义可得12222PFPFPFa，所以2PFa，13PFa；因为1260FPF,由余弦定理可得2224923cos60caaaa，整理可得2247ca，所以22274ace，即72e.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,ac间的等量关系是求解的关键.1.待定系数法求双曲线方程最常用的设法：(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝t(t≠0)；(2)若双曲线的渐近线方程为y＝±bax，则双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝t(t≠0)；(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2ka2)；(4)过两个已知点的双曲线方程可设为x2m＋y2n＝1(mn0)；(5)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2k－b2＝1(b2ka2)．合理利用上述结论求双曲线的方程可简化解题过程，提高解题速度．.()()()2双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点，“四线”两条对称轴、两条渐近线，“两形”中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形研究它们之间的相互联系．3.求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．一、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．二、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围或，或，顶点、、轴长虚轴的长实轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称离心率，越大，双曲线的开口越阔渐近线方程三、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．四、直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。①.若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。②.若，设。③..时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。【知识拓展】弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则====1．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知双曲线222102xyaa的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的离心率e为（）A．233B．263C．3D．22．（2021·全国·模拟预测）设双曲线C：22124yx的左焦点和右焦点分别是1F，2F，点A是C右支上的一点，则124AFAF的最小值为（）A．5B．6C．7D．83．（2021·广西南宁·模拟预测（文））已知双曲线C的离心率43e，虚轴长为27，则其标准方程为（）A．22143xyB．22143xy或22134xyC．22197xyD．22197xy或22197yx4．（2021·上海·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为320xy，且26c，则双曲线的方程为___________.1．（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（理））若双曲线2222:1(0,0)xyCabab的渐近线方程为12yx，则C的离心率为（）A．2B．62C．5D．522．（2021·陕西渭南·高三月考（理））已知双曲线2222:10,0xyCabab的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为（）A．43B．85C．53D．543．（2021·浙江宁波·高三月考）设直线20yxtt与双曲线222210,0xyabab两条渐近线分别交于点A，B，若点4,0Pt满足PAPB，则该双曲线的渐近线方程是（）A．3yxB．3yxC．13yxD．19yx4．（2021·广东·高三月考）若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（）A．m0，n0B．m0，n0C．m0nD．n0m5．（2021·内蒙古宁城·高三月考（理））已知1M，2M是双曲线22221(0,0)xyabab的左右顶点，P为该双曲线上任一点（与1M，2M不重合），已知1PM与2PM斜率之积为49，则该双曲线的渐近线方程为（）A．350xyB．530xyC．320xyD．230xy6．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（理））已知Р是双曲线22:1169xyC右支上一点，1F、2F分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，194OPOF，则下列结论中错误的是（）A．双曲线C的离心率为54B．双曲线C的渐近线方程为34yx=?C．点P到双曲线C的左焦点距离是234D．12PFF△的面积为4547．（2021·云南师大附中高三月考（文））双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左､右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，2ABF是等边三角形，若x轴上存在点Q且满足23BQAF，则C的离心率为___________.8．（2021·云南师大附中高三月考（理））双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，若x轴上存在点Q使得1QBF的角平分线过F2，且满足23BQAF，则C的离心率为__________.9．（2021·浙江金华第一中学高三月考）已知0a，若圆224xya经过双曲线2221xya的焦点，则a______．10．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（理））方程1169xxyy表示的曲线即为函数yfx的图象，对于函数yfx，有如下结论：①fx在R上单调递减；②函数43Fxfxx不存在零点；③函数yfx的值域是R；④fx的图象不经过第一象限.其中正确的命题是_______________________．（填写命题序号）11．（2021·广东·高三月考）双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为F，以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切．（1）求C的离心率；（2）已知点2(,0)2Aa，过F点的直线与C的右支交于M，N两点，证明：F点到,AMAN的距离相等．12．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左右两个焦点分别为12FF、，点P在双曲线右支上.（Ⅰ）若当点P的坐标为34116(,)55时，12PFPF，求双曲线的方程；（Ⅱ）若12||3||PFPF，求双曲线离心率e的最值，并写出此时双曲线的渐近线方程.1．（2021·江苏·高考真题）已知双曲线222210,0xyabab的一条渐近线与直线230xy平行，则该双曲线的离心率是（）A．2B．3C．2D．52．（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1xyCab离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（）A．2221xyB．2213yxC．22531xyD．22126xy3．（2021·全国·高考真题（文））点3,0到双曲线221169xy的一条渐近线的距离为（）A．95B．85C．65D．454．（2010·全国·高考真题（文））中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A．6B．5C．62D．525．（2020·天津·高考真题）设双曲线C的方程为22221(0,0)xyabab，过抛物线24yx的焦点和点(0,)b的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）A．22144xyB．2214yxC．2214xyD．221xy6．（2020·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=234x图像上的点，则|OP|=（）A．222B．4105C．7D．107．（2021·全国·高考真题（文））双曲线22145xy的右焦点到直线280xy的距离为________．8．（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)xCymm的一条渐近线为30xmy，则C的焦距为_________．9．（2021·全国·高考真题）若双曲线22221xyab的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________．10．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点117,0F、21217,02FMFMF，，点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线12x上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且TATBTPTQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.1．【答案】A【分析】根据题意渐近线的斜率为π3tan63，所以该渐近线的方程为33yx，所以22233a，求得6a，利用22cab，求得c即可得解.【详解】∵双曲线222102xyaa的一条渐近线的倾斜角为π6，π3tan63，∴该渐近线的方程为33yx，∴22233a，解得6a或6（舍去），∴2222cab，∴双曲线的离心率为222336cea．故选：A．2．【答案】C【分析】根据双曲线的方程求出,,abc的值，由双曲线的定义可得2212244AAFAFFFA，由双曲线的性质可知24AFca，利用函数的单调性即可求得最小值.【详解】由双曲线C：22124yx可得21a，224b，所以22225cab，所以1a，5c，由双曲线的定义可得1222AFAFa，所以122AFAF，所以2212244AAFAFFFA，由双曲线的性质可知：24AFca，令2AFt，则4t，所以122244422AFAFtAFAFt在4,上单调递增，所以当4t时，取得最小值44274，此时点A为双曲线的右顶点1,0