【新高考复习】考向43 直线与圆锥曲线-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）(

考向43直线与圆锥曲线1．（2021·天津·高考真题）已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点与抛物线22(0)ypxp的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若2||CDAB．则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．2D．3【答案】A【分析】设公共焦点为,0c，进而可得准线为xc，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212ac，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)xyabab与抛物线22(0)ypxp的公共焦点为,0c，则抛物线22(0)ypxp的准线为xc，令xc，则22221cyab，解得2bya，所以22bABa,又因为双曲线的渐近线方程为byxa，所以2bcCDa，所以2222bcbaa，即2cb，所以222212acbc，所以双曲线的离心率2cea.故选：A.2．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线220ypxp的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且2MF，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线,,MAMBAB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且2RNPNQN，求直线l在x轴上截距的范围.【答案】（1）24yx；（2）,743743,11,.【分析】（1）求出p的值后可求抛物线的方程.（2）设:1ABxty，1122,,,AxyBxy，,0Nn，联立直线AB的方程和抛物线的方程后可得12124,4yyyyt，求出直线,MAMB的方程，联立各直线方程可求出,,PQRyyy，根据题设条件可得222134121ntnt，从而可求n的范围.【详解】（1）因为2MF，故2p，故抛物线的方程为：24yx.（2）设:1ABxty，1122,,,AxyBxy，,0Nn，所以直线:2ylxn，由题设可得1n且12t.由214xtyyx可得2440yty，故12124,4yyyyt，因为2RNPNQN，故21111+1+1+444RPQyyy，故2RPQyyy.又11:11yMAyxx，由11112yyxxyxn可得1112122Pnyyxy，同理2222122Qnyyxy，由12xtyyxn可得2121Rnyt，所以2212211212121=212222nnynytxyxy，整理得到2212221112112222yyntnxyxy，22221214212222tyyyy2222222121212112214212134+++2+442tttyyyyyyyyyyyy故222134121ntnt，令21st，则12st且0s，故22222234242411331+444421tsssssst，故213141nnn即214101nnn，解得743n或7431n或1n.故直线l在x轴上的截距的范围为743n或7431n或1n.【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.3.直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.4.定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等1．曲线的交点在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线12,CC，已知它们的方程为12:(,)0,:(,)0CfxyCgxy，求曲线12,CC的交点坐标，即求方程组(,)0(,)0fxygxy的实数解.方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定设直线:0lAxByC，圆锥曲线:(,)0Cfxy，把二者方程联立得到方程组，消去()yx得到一个关于()xy的方程220(0)axbxcaybyc.（1）当0a时，0方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；0方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；0方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当a=0时，方程为一次方程，若b≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若b=0,c≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.3．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点相交；直线与椭圆有一个交点相切；直线与椭圆没有交点相离.（2）直线与双曲线有两个交点相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.直线与双曲线没有交点相离.（3）直线与抛物线有两个交点相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.直线与抛物线没有交点相离.【知识拓展】1.圆锥曲线的中点弦问题（1）AB为椭圆22221(0)xyabab的弦，1122(,),(,)AxyBxy，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为2020bxkay，弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值22ba.（2）AB为双曲线22221(0,0)xyabab的弦，1122(,),(,)AxyBxy，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为2020bxkay，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值22ba.（3）在抛物线22(0)ypxp中，以M(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率0pky.2．弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于1122(,),(,)AxyBxy两个不同的点，则弦长2222121121221()()1||1||(0)＝ABxxyykxxyykk.（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.1．（2021·上海·模拟预测）已知双曲线22221(0,0)xyabab（0ab）的右焦点为,0Fc，直线ykxc与双曲线只有1个交点，则（）A．bkaB．bkaC．bkaD．bka2．（2021·全国·模拟预测（理））已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线20l:xy，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cos∠MFO＝（）A．22B．23C．24D．263．（2021·云南五华·模拟预测（理））已知1F，2F分别为椭圆C：2212xy的左，右焦点，单位圆O与C的一个公共点为M，1MF与C异于M的交点为N，则12NFF△的面积为______．4．（2021·全国·模拟预测（理））设M，N是双曲线222210,0xyabab实轴的两个端点，Q是双曲线上的一点（异于M，N两点），QMN，QNM，则tantan________．1．（2021·湖南·模拟预测）已知双曲线222Cxy：，直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，记mOAOB，其中O为坐标原点，则（）A．m的最小值为2，且此时l与x轴平行B．m的最小值为2，且此时l与x轴垂直C．m的最大值为2，且此时l与x轴平行D．m的最大值为2，且此时l与x轴垂直2．（2021·全国·模拟预测（理））过抛物线220ypxp的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在第一象限），过A作抛物线的切线交x轴于点C，则ABC的面积为（）A．2433pB．2233pC．2533pD．23p3．（2021·黑龙江实验中学三模（文））已知抛物线2:20Cypxp的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于A､B两点，若AB的中点为3,12M，则线段AB的长为（）A．72B．4C．5D．4或54．（2021·江苏·一模）过抛物线24yx的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则AB等于（）A．2B．4C．6D．85．（2021·云南曲靖·二模（文））已知双曲线22:1Cxy的右焦点为F，直线1l､2l是双曲线的两渐近线，1FHl，H是垂足.点M在双曲线上，经过M分别与1l､2l平行的直线与2l､1l相交于A､B两点，O是坐标原点，OFH的面积为1S，四边形OAMB的面积为2S.则12:SS（）A．1:1B．1:2C．2:3D．3:26．（2021·陕西·模拟预测（理））已知抛物线x2＝2py（p＞0）焦点为F，O为坐标原点，直线l过点F与抛物线交于A，B两点，与x轴交于C（2p，0），若|AB|＝17，则△OCF的面积为____．7．（2021·甘肃省民乐县第一中学三模（理））已知双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，斜率大于0的直线l经过点2F与C的右支交于A，B两点，若12AFF△与12BFF△的内切圆面积之比为9，则直线l的斜率为______．8．（2021·全国·模拟预测（文））已知F为椭圆22:12xCy的右焦点，直线1ykx与椭圆C交于A，B两点.若AFBF，则实数k的值为___________.9．（2021·全国·模拟预测（文））已知直线12,ll是双曲线22:14xCy的两条渐近线，点P是双曲线C上一点，若点P到渐近线1l的距离的取值范围是1,12，则点P到渐近线2l的距离的取值范围是__________．10．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且AB的中点的纵坐标为2．（1）求C的方程（2）已知(1,4),(1,4)EM，若P在线段EM上，,PHPG是抛物线C的两条切线，切点为H，G，求PHG面积的最大值．11．（2021·河南驻马