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考向44排列、组合1．（2021·全国·高考真题（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．13B．25C．23D．45【答案】C【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C种排法，若2个0不相邻，则有2510C种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103.故选：C.2．（2021·山东·高考真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（）A．10B．20C．60D．100【答案】A【分析】根据组合的定义计算即可.【详解】从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有35C10种安排方式．（选取3人后剩下2名同窗干的活就定了）故选：A1.解决排列问题的主要方法有：（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列.（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.2.组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏.3.先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成.第一步：选元素，即选出符合条件的元素;第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列;第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数.（5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.1．排列（1）排列的定义一般地，从n个不同元素中取出()mmn个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.（2）排列数、排列数公式从n个不同元素中取出()mmn个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示.一般地，求排列数Amn可以按依次填m个空位来考虑：假设有排好顺序的m个空位，从n个元素12,,,naaaL中任取m个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为m个步骤来实现.根据分步乘法计数原理，全部填满m个空位共有(1)(2)[(1)]nnnnmL种填法.这样，我们就得到公式Amn(1)(2)(1)nnnnmL，其中,mnN，且mn.这个公式叫做排列数公式.n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中mn，即有A(1)(2)321nnnnnL，就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用!n表示.所以n个不同元素的全排列数公式可以写成A!nnn.另外，我们规定0!1.于是排列数公式写成阶乘的形式为Amn!()!nnm，其中,mnN，且mn.注意：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n个不同元素中取出()mmn个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.2．组合（1）组合的定义一般地，从n个不同元素中取出()mmn个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.（2）组合数、组合数公式从n个不同元素中取出()mmn个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示.A(1)(2)(1)CA!mmnnmmnnnnmmL，其中,mnN，且mn.这个公式叫做组合数公式.因为Amn!()!nnm，所以组合数公式还可以写成Cmn!!()!nmnm，其中,mnN，且mn.另外，我们规定0C1n.【知识拓展】组合数的性质性质1：CCmnmnn.性质1表明从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下的nm个元素的组合是一一对应关系.性质2：11CCCmmmnnn.性质2表明从1n个不同元素中任取m个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m个元素中不含某个元素a的组合，只需在除去元素a的其余n个元素中任取m个即可，有Cmn个组合；第2类，取出的m个元素中含有某个元素a的组合，只需在除去a的其余n个元素中任取1m个后再取出元素a即可，有1Cmn个组合.1．（2021·全国·模拟预测（理））由于全球新冠肺炎疫情呈高发态势，我国零星散发病例和局部地区聚集性疫情明显增加，为了全面抗击，做到网格化管理，要求在2021年1月28日至3月8日春运期间必须持新冠病毒核酸检测阴性证明才能出行．若甲、乙两人去A，B，C，D四个医院中的一个做检测，则他们不在同一个医院做检测的概率为（）A．14B．12C．34D．232．（2021·河北·模拟预测）5名同学到甲､乙､丙3个社区协助工作人员调查新冠疫苗的接种情况，若每个社区至少有1名同学，每名同学只能去1个社区，且分配到甲､乙两个社区的人数不同，则不同的分配方法的种数为（）A．60B．80C．100D．1203．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）现有7人排队接种新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙丁相邻，则有______种不同的排队方法.（用数字作答）4．（2021·广东·模拟预测）“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有________种．（用数字作答）1．（2021·河北衡水中学模拟预测）“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗､勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗､勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP，她和颜妮､丁霞､王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为（）A．12B．13C．14D．162．（2021·全国·模拟预测（理））现有甲、乙、丙、丁四名义工到A，B，C三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少分一名义工，则甲单独被分到A社区的概率为（）A．16B．12C．13D．343．（2021·河南南阳·模拟预测（理））A，B，C，D，E，F六名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次．A，B，C去询问成绩，回答者对A说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对B说：“你的名次在C之前．”对C说：“你不是最后一名．”从以上的回答分析，6人的名次排列情况种数共有（）A．108B．120C．144D．1564．（2021·江苏南通·模拟预测）在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内甲､乙､丙三个小区中选取6人做志愿者，协助防控和宣传工作.若每个小区至少选取1人做志愿者，则不同的选取方法有（）A．10种B．20种C．540种D．1080种5．（2021·四川·石室中学一模（理））某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）个A．242610AB．242610AAC．2142610CD．2142610CA6．（2021·湖南长沙·模拟预测）一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36B．48C．72D．1207．（2021·浙江·学军中学模拟预测）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）8．（2021·浙江·模拟预测）有6张卡片分别写有数字1，1，1，2，3，4，从中任取4张，可排出不同的四位数的个数是___________.(用数字作答)9．（2021·浙江·模拟预测）某重点中学安排甲、乙在内的5名骨干教师到3所乡镇学校开展支教帮扶活动，每所学校至少安排一名教师，每个教师也只能去一所学校，若甲、乙2名教师不去同一所学校，则不同的安排方法有______种．10．（2021·辽宁沈阳·三模）安排高二年级一､二两个班一天的数､语､外､物､体，一班的化学及二班的政治各六节课．要求体育课两个班一起上，但不能排在第一节；由于选课之故，一班的化学和二班的政治要安排在同一节；其他语､数､外､物四科由同一任课教师分班上课，则不同的排课表方法共有__________种．11．（2021·江西·模拟预测（理））新冠疫情防控期间，某中学安排甲､乙，丙等7人负责某个周一至周日的师生体温情况统计工作，每天安排一人，且每人负责一天.若甲､乙、丙三人中任意两人都不能安排在相邻的两天，且甲安排在乙，丙之间，则不同的安排方法有___________种(用数字作答).12．（2021·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年．为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部（3男4女到三个贫困村调研走访，每个村安排男、女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有_______种（用具体数字回答）．1．（2020·山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）A．12B．120C．1440D．172802．（2021·全国·高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.83．（2014·全国·高考真题（理））4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A．B．C．D．4．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种5．（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种6．（2020·海南·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种7．（2019·全国·高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A．16B．14C．13D．128．（2019·全国·高考真题（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“