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考向47古典概型1．（2021·山东·高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是（）A．29B．23C．14D．12【答案】D【分析】应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.【详解】甲、乙两位同窗选取景点的种数为224，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2，∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为2142．故选：D2．（2013·广东·高考真题（文））从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数（个）5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．【答案】(1)0.4(2)1个(3)31()62PA【详解】试题分析：（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．试题解析：（1）重量在90,95的频率为：；（2）若采用分层抽样的方法从重量在80,85和95,100的苹果中共抽取4个，则重量在80,85的个数为：；（3）设在80,85中抽取的一个苹果为x，在95,100中抽取的三个苹果分别为,,abc，从抽出的4个苹果中，任取2个共有，，，，，6种情况．其中符合“重量在80,85和95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)xaxbxc3种;设“抽出的4个苹果中，任取2个，重量在80,85和95,100中各有一个”为事件A，则事件A的概率31()62PA．考点：1、古典概型及其概率计算公式；2、分层抽样方法．【方法点晴】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．1.求古典概型的基本步骤：(1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.(3)代入公式()mPAn，求出P(A)．2.解题技巧：列出全部基本事件，找到符合条件的基本事件，再利用古典概型公式即可得到答案.古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.(2)古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；③利用古典概型的概率公式P(A)＝mn，求出事件A的概率.(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同名称不同点相同点频率计算公式频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值都计算了一个比值mn古典概型的概率计算公式mn是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化【知识拓展】1．（2017·湖南·长郡中学一模（理））小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时小王都将笔杆和笔帽套在一起，但偶尔也会将笔杆和笔帽随机套在一起，则小王将两支笔的笔杆和笔帽的颜色混搭的概率是（）A．16B．13C．12D．562．（2021·江西景德镇·模拟预测（理））蒲丰是18世纪的法国博物学家，曾在1777年出版的著作中提出了“投针问题”：取一张画有若干条等矩平行线的白纸，随机地向纸上投掷长度小于平行线间距的短针，记录下针与线的相交情况，可用来估计圆周率.蒲丰发现当短针长度恰好为平行线间距一半时，针线相交的概率为1.现用针长为平行线间距一半的短针投掷5000次，记录下短针与线相交1590次，则此次投针实验中得到的圆周率的近似值约为（）A．3.12B．3.13C．3.14D．3.153．（2021·上海普陀·模拟预测）已知函数yfx的定义域为1,2,3,4D，值域为1,2,3A，则函数yfx在定义域D上存在反函数的概率为__．4．（2021·上海·模拟预测）一个袋中装有9个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，…，9，随机依次摸出两个球（不放回），则两个球编号之和大于9的概率是___________（结果用分数表示）.1．（2021·江西景德镇·模拟预测（理））若某台电脑每秒生成一个数字1或2，则该电脑运行三秒后生成的数字之和能被3整除的概率为（）A．12B．38C．14D．182．（2020·广东·大沥高中模拟预测）要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班级的概率为（）A．16B．13C．23D．143．（2021·广东中山·模拟预测）为提高学生的身体素质，加强体育锻炼，高三（1）班A，B，C三位同学进行足球传球训练，约定：球在某同学脚下必须传出，传给另外两同学的概率均为12，不考虑失球，球刚开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的概率为（）A．58B．516C．1132D．13324．（2021·全国·模拟预测）湖泊不仅是中国地理环境的重要组成部分，还蕴藏着丰富的自然资源.综合实践活动课上，小王要从青海湖､西湖､千岛湖､纳木错等10个湖泊中随机选取3个进行介绍，则青海湖与纳木错至少有一个被选中的概率为（）A．34B．815C．514D．145．（2021·全国·模拟预测（理））北京卫视大型原创新锐语言竞技真人秀节目《我是演说家》火爆荧屏，在某期节目中，共有2名女选手和1名男选手参加比赛.已知备选演讲主题共有2道，若每位选手从中有放回地随机选出一个主题进行演讲，则其中恰有一男一女抽到同一演讲主题的概率为（）A．14B．12C．23D．346．（2021·全国·模拟预测（理））下图是2020年我国居民消费价格月度涨跌幅度图（来源于国家统计局网站），现从12个月中任选3个月，则其中恰有两个月月度环比为正且月度同比不低于2的概率为（）A．211B．1255C．1655D．24557．（2021·云南五华·模拟预测（理））一个学习小组有7名同学，其中3名男生，4名女生.从这个小组中任意选出3名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（）A．67B．57C．27D．178．（2021·上海·模拟预测）在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，若男生甲和女生乙不同时参加，则事件发生的概率为__________(结果用数值表示)．9．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校模拟预测（理））投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件A：蓝色骰子的点数为5或6；事件B：两骰子的点数之和大于9，则在事件B发生的条件下事件A发生的概率|PAB______．10．（2021·全国·模拟预测）一只口袋内装有4个白球，5个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第4次摸出的是白球的概率为________．11．（2021·云南大理·模拟预测（文））2021年初，疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务依然艰巨．为了引起广大市民足够重视，某市制作了一批宣传手册进行发放．手册内容包含“工作区域防护知识”“个人防护知识”“居家防护知识”“新型冠状病毒肺炎知识”“就医流程”等内容．为了解某市市民对手册的掌握情况，采取网上答题的形式，从本市1060～岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查，统计结果如下频率分布直方图所示：（1）求a的值，并求这组数据的中位数（结果保留两位小数）；（2）现从年龄在20,40的人中利用分层抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，求这两人来自不同年龄段的概率．12．（2019·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（文））随着春暖花开，疆内外来我市旅游的游客不断增多，为提高旅游行业服务质量和水平，市旅游局对10家旅行社负责人进行了相关培训，并在培训结束后组织了测试，现得到10人考试成绩分别如下（满分100分）：75846590889578859882（1）以成绩的十位为茎、个位为叶作出10人成绩的茎叶图，并计算平均成绩与成绩的中位数；（2）从本次成绩在85分以上（含85分）的学员中任选2人，求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率.1．（2020·山东·高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（）A．225B．116C．125D．1322．（2011·浙江·高考真题（文））从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A．110B．310C．35D．9103．（2016·全国·高考真题（文））小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,MIN，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A．815B．18C．115D．1304．（2020·全国·高考真题（文））设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A．15B．25C．12D．455．（2019·全国·高考真题（文））生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A．23B．35C．25D．156．（2009·重庆·高考真题（理））锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为A．891B．2591C．4891D．60917．（2013·全国·高考真题（文））从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是A．12B．13C．14D．168．（2016·江苏·高考真题）将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．9．（2015·江苏·高考真题）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．10．（2014·山东·高考真题（文））海关对同时从,,ABC三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区ABC数量/件50150100（1）求这6件样品中来自A，B，C三个地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．11．（2015·北京·高考真题（理））A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果25a，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）12．（2010·山东·高考真题（文））一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（1）从袋