搜索
考向46随机事件的概率1．（2020·海南·高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%【答案】C【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件AB，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，然后根据积事件的概率公式()PAB()()()PAPBPAB可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件AB，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，则()0.6PA，()0.82PB，0.96PAB，所以()PAB()()()PAPBPAB0.60.820.960.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.2．（2020·天津·高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】1623【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23.【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．2．判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．3.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．4．利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率．5.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．6．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A－)求解．当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法．7.概率的一般加法公式与互斥事件的概率加法公式在限制条件上的区别：在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)中，事件A，B是互斥事件；在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，事件A，B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.8.应用概率的一般加法公式解决问题的关键在于理解两个事件A，B的交事件A∩B的含义，准确求出其概率.1.概率与频率一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).2.事件的运算定义表示法图示并事件事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)3.事件的关系定义表示法图示包含关系若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)互斥事件如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)若A∩B＝∅，则A与B互斥对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立互为对立，事件A的对立事件记为A－4.概率的基本性质一般地，概率有如下性质：性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).【常用结论】1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事件A的对立事件A－所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．2．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．1．（2021·山东肥城·模拟预测）某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气，公司决定进行一次信息化技术比赛，三个技术部门分别为麒麟部，龙吟部，鹰隼部，比赛规则如下：①每场比赛有两个部门参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个部门首先获胜两场，则本次比赛结束，该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门”．已知在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为13，麒麟部胜鹰隼部的概率为35，龙吟部胜鹰隼部的概率为12．当麒麟部与龙吟部进行首场比赛时，麒麟部获得“优胜部门”的概率是（）A．445B．29C．415D．13452．（2021·甘肃·天水市第一中学模拟预测（文））我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题；“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少”，其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．153石B．154石C．169石D．170石3．（2021·上海黄浦·二模）已知随机事件A和B相互独立，若0.36PAB，0.6PA（A表示事件A的对立事件），则PB__________4．（2021·天津和平·一模）甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为34，乙同学一次投篮命中的概率为23，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________.1．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（文））“辽宁舰”是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，在“辽宁舰”的飞行甲板后部有四条拦阻索，降落的飞行员须捕捉钩挂上其中一条，则为“成功着陆”，舰载机白天挂住第一条拦阻索的概率为18%，挂住第二条、第三条拦阻索的概率为62%，捕捉钩未挂住拦阻索需拉起复飞的概率约为5%，现有一架歼15战机白天着舰演练20次均成功，则其被第四条拦阻索挂住的次数约为（）A．5B．3C．2D．42．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知从甲袋内摸出1个红球的概率是13，从乙袋内摸出1个红球的概率是12，从两袋内各摸出1个球，则2个球中至少有1个红球的概率是（）A．12B．13C．23D．163．（2021·河南·郸城县第一高级中学一模（文））某同学做立定投篮训练，共3场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录板所示．第一场第二场第三场投篮次数252030投中次数161318根据图中的数据信息，该同学3场投篮的命中率约为（）A．0616．B．0627．C．0635．D．0648．4．（2021·吉林长春·一模（理））医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率20.9372,0.0139xN:.若生产状态正常，有如下命题：甲：(0.9)0.5Px；乙：x的取值在(0.93,0.9439)内的概率与在(0.9372,0.9511)内的概率相等；丙：(0.9)(0.9744)PxPx；丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于2的数量，则(1)0.6P.（参考数据：若2~(,)xN(0)，则()0.6827Px，(22)0.9545Px，(33)0.9973Px；500.980.364）其中假命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．（2021·陕西·千阳县中学模拟预测（理））甲、乙两人进行投壶比赛，比赛规则：比赛中投中情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，投不中算“零筹”，进行三场比赛后得筹数最多者获胜．假设每场比赛中甲投中“有初”的概率为13，投中“贯耳”的概率为16，投中“散射”的概率为19，投中“双耳”的概率为112，投中“依竿”的概率为136，乙的投掷水平与甲相同，且甲，乙两人投掷相互独立．比赛第一场，两人平局，第二场，甲投中“贯耳”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（）A．85432B．527C．19D．834326．（2021·安徽宣城·二模（理））围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军（假设没有平局），比赛结束假设每局比赛乙胜甲的概率都为23，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（）A．19B．1781C．827D．16277．（2021·江苏·盐城中学模拟预测）从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A．2个球都是红球的概率为16B．2个球不都是红球的概率为13C．至少有1个红球的概率为23D．2个球中恰有1个红球的概率为128．（2020·天津·耀华中学一模）现有A，B两队参加关于“十九大”的知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分.A队中每人答对的概率均为23，B队中每人答对的概率分别为23，23，12，且各答题人答题正确与否之间互无影响.若事件M表示“A队得2分”，事件N表示“B队得1分”，则PMN___________.9．（2022·天津北辰·模拟预测）已知甲、乙两名篮球运动员投篮投中的概率分别为0.5和0.8，且甲、乙两人投篮的结果互不影响．若甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中的概率为_____．10．（2021·安徽郎溪·模拟预测（理））公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫()Demere向另一位著名的数学家帕斯卡(.)BPascal提请了一个问题，帕斯卡和费马()Fermat讨论了这个问题，后来惠更斯(.)CHuygens