【新高考复习】考点04 基本不等式及应用（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考

考向04基本不等式及应用（2021·全国高考真题）已知1F，2F是椭圆C：22194xy的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（）A．13B．12C．9D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MFMFa，借助基本不等式212122MFMFMFMF即可得到答案．【详解】由题，229,4ab，则1226MFMFa，所以2121292MFMFMFMF（当且仅当123MFMF时，等号成立）．故选：C．【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.注意：形如(0)ayxax的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．1．重要不等式当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．2．基本不等式当a0，b0时有abba2，当且仅当a=b时，等号成立．3．基本不等式与最值已知x、y都是正数．(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．【知识拓展】常用推论：（1）22ab2ab（,Rab）（2）2ab()2ab（0a，0b）；222()22abab（3）222(0,0)1122ababababab1．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知0x，0y，且1xy，则下列结论中正确的是（）A．11xy有最小值4B．xy有最小值14C．22xy有最大值2D．xy有最大值22．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）（多选题）下列命题正确的是（）A．若0ab，0c，则ccabB．若0a，0b，0c，则aacbbcC．若0ab，则22ababD．若1a，0b，22ab，则121ab的最小值为33．（2020·石家庄市藁城区第一中学高三其他模拟（文））若直线220axby（0a，0b）被圆222410xyxy截得弦长为4，则41ab的最小值是（）A．9B．4C．12D．144．（2020·安徽高三其他模拟（文））在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(4b-c)cosA=acosC，且3a，则ABC的周长的取值范围___________.1．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，*tN)的关系为22364stt，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（）A．5B．6C．7D．82．（2021·重庆高三三模）(多选题)已知a，b为正实数，且26abab，则（）A．ab的最大值为2B．2ab的最小值为4C．ab的最小值为3D．1112ab的最小值为223．（2021·普宁市第二中学高三其他模拟）（多选题）已知2,0,1abab，则下列选项一定正确的是（）A．133abB．ba的最大值为12C．2abD．11165ab4．（2021·全国高三其他模拟）（多选题）已知0a，0b，则下列说法正确的是（）A．214aa最小值为4aB．若2ab，则33abab的最小值为4C．若41ab，则1ba的最小值为9D．若115abab，则ab的最小值为45．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知正实数x，y满足419xy，则xy的最大值等于______．6．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若AF(0,0)xAEyDCxy，则22341xy的最大值为___________.7．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三其他模拟）已知,xy都为正实数，则241xyxxy的最小值为___________．8．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三三模（理））《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则11972215x．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里300步）________里.9．（2021·浙江高三其他模拟）已知正实数,ab满足21ab，则12ab的最小值为_______；222ab的最小值为__.10．（2021·海南高三其他模拟）若0x，0y，且211xy，则2xy的最小值是___________，当且仅当___________时，取得最值.11．（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为2200m的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元2/m，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元2/m，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元2/m.设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m).S的最小值是___________，此时x的值是___________.1．（2021·浙江高考真题）已知,,是互不相同的锐角，则在sincos,sincos,sincos三个值中，大于12的个数的最大值是（）A．0B．1C．2D．33．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（）A．224yxxB．4sinsinyxxC．222xxyD．4lnlnyxx3．（2020·全国高考真题（理））设O为坐标原点，直线xa与双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两条渐近线分别交于,DE两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．324．（2020·天津高考真题）已知0,0ab，且1ab，则11822abab的最小值为_________．5．（2020·江苏高考真题）已知22451(,)xyyxyR，则22xy的最小值是_______．6．（2019·上海高考真题）如图，已知正方形OABC，其中1OAaa，函数23yx交BC于点P，函数12yx交AB于点Q，当AQCP最小时，则a的值为_______7．（2019·天津高考真题（理））设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为______.8．（2020·全国高考真题（文））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34．1．【答案】A【分析】根据已知，结合基本不等式分别判断选项即可，但需注意取最值时的条件.【详解】对于选项A，1111()114yxxyxyxyxy…，当且仅当12xy时取等号，故A正确；对于选项B，2124xyxy„，当且仅当12xy时取等号，故B错误；对于选项C，222222222xyxyxy…，当且仅当12xy时取等号，故C错误；对于选项D，2()22()2xyxyxyxy„，所以2xy„，当且仅当12xy时取等号，故D错误.故选：A.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．【答案】ACD【分析】对选项A，利用不等式性质即可判断A正确；对选项B，利用特值法即可判断B错误；对选项C，利用基本不等式性质求解即可；对选项D，首先根据题意得到123ab，从而得到1122112131abaabb，再展开利用基本不等式求解即可.【详解】对选项A，因为0ab，所以11ab，又因为0c，所以ccab，故A正确；对选项B，因为0a，0b，0c，设2a，1b，1c，则2ab，32acbc，aacbbc，故B错误；对选项C，因为0ab，所以222abababab24222abababab，故C正确；对选项D，因为22ab，所以123ab，所以21121121215524311313231ababababab，当且仅当2121abab，即0a，1b时，取等号.故D正确.故选：ACD3．【答案】A【分析】根据直线被圆截得的弦长为4，以及圆的半径为2，可知直线过圆心，即2220ab，41414=()()41baabababab，根据此特点，可选择基本不等式求出最小值.【详解】直线被圆截得的弦长为4，圆的半径为2244164222DEFr,圆心为(1,2)直线过圆心，故2220ab，即1ab，414144=()()4152549babaababababab，当且仅当4baab，即2ab时等号成立，最小值为9.故选：A【点睛】理解题意，直线与圆相交后弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，以及由1ab，求41ab的最小值联想用基本不等式求最值.4．【答案】(23,3]22【分析】先根据正弦定理将已知条件边化角，求出cosA，然后利用余弦定理及均值不等式即可求解.【详解】解：(4)coscosbcAaC，由正弦定理得(4sinsin)cossincosBCAAC，即4sincossin()sinBAACB，又sin0B，1cos4A，所以，由余弦定理得22132bcbc，即25()32bcbc，又22bcbc(b=c时等号成立)，所以b+c22，3bc，23322abc，所以ABC的周长的取值范围为(23,3]22，故答案为：(23,3]22.【点睛】关键点点睛：利用余弦定理