【新高考复习】考点13 函数的零点及函数的应用（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新

考向13函数的零点及函数的应用1．（2020·海南高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e)rtIt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天【答案】B【分析】根据题意可得0.38rttItee，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t天，根据10.38()0.382tttee，解得1t即可得结果.【详解】因为03.28R，6T，01RrT，所以3.2810.386r，所以0.38rttItee，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t天，则10.38()0.382tttee，所以10.382te，所以10.38ln2t，所以1ln20.691.80.380.38t天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.2．（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.xxfxxx…若函数2()()2()gxfxkxxkR恰有4个零点，则k的取值范围是（）A．1,(22,)2B．1,(0,22)2C．(,0)(0,22)D．(,0)(22,)【答案】D【分析】由(0)0g，结合已知，将问题转化为|2|ykx与()()||fxhxx有3个不同交点，分0,0,0kkk三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g，所以要使()gx恰有4个零点，只需方程()|2|||fxkxx恰有3个实根即可，令()hx()||fxx，即|2|ykx与()()||fxhxx的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0xxfxhxxx，当0k时，此时2y，如图1，2y与()()||fxhxx有1个不同交点，不满足题意；当0k时，如图2，此时|2|ykx与()()||fxhxx恒有3个不同交点，满足题意；当0k时，如图3，当2ykx与2yx=相切时，联立方程得220xkx，令0得280k，解得22k（负值舍去），所以22k.综上，k的取值范围为(,0)(22,).故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.1.判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,主要利用函数零点的存在性定理进行判断.首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)·f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.2.判断函数y=f(x)的零点个数时,常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,判断函数零点的个数;(2)根据函数的性质结合已知条件进行判断;(3)通过数形结合进行判断,画函数图象,观察图象与x轴交点的个数来判断.3.已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.4.解决函数应用问题的步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.1.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根.2.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标.【知识拓展】判断函数零点个数的方法:(1)利用零点存在性定理判断法;(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根;(3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.1．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）函数sin2cosfxxx在0,3上的零点个数为（）A．5B．6C．7D．82．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数21log,112,1axxfxxax，方程10fx有两解，则a的取值范围是（）A．1(,1)2B．1(0,)2C．(0,1)D．1,3．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）（多选题）在下列区间中，函数43xfxex一定存在零点的区间为（）A．11,2B．(,3)eC．10,2D．11,e4．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）已知函数112()1421xxfxk有两个不同的零点，则实数k的取值范围是_________.1．（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数ln6fxxx的零点一定位于区间（）A．2,3B．3,4C．4,5D．5,62．（2021·全国高三其他模拟）“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t（单位：天）河水污染质量指数为mt（每立方米河水所含的污染物）满足0ktvrrmtmekk（0m为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（参考数据：ln102.30）（）A．1个月B．3个月C．半年D．1年3．（2021·重庆高三三模）已知函数21xfxx，2log1gxxx，31hxxx的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小为（）A．cbaB．bcaC．cabD．acb4．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）若曲线24,13,xxayxxxa与x轴有且只有2个交点，则实数a的取值范围是（）A．12aB．3aC．12a或3aD．12a或3a5．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知函数211(0)()2242(0)xxfxxxx，若函数()()2gxffxm，则下列结论正确的是（）A．若()gx没有零点，则0mB．当2m时，()gx恰有1个零点C．当()gx恰有2个零点时，m的取值范围为0,1D．当()gx恰有3个零点时，m的取值范围为1,346．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）若函数21log(),0()22,0xxxxfxax的所有零点之和为0，则实数a的取值范围为（）A．(22,3]B．[22,3]C．(22,)D．[22,)7．（2021·四川德阳市·高三二模（文））已知向量3,111ax，31,11bx，函数fxab，若关于x的方程1fxkx至少有两个实数根，则实数k的取值范围是（）A．0,B．0,1C．1,D．0,28．（2020·安徽高三其他模拟（文））记(),()fxgx分别为函数(),()fxgx的导函数.若存在x0∈R，满足f(x0)=g(x0)且00()()fxgx，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“真实点”，若函数21()2xfxae与2()2gxxb有且只有一个真实点，则实数a的值为（）A．1eB．2eC．2eD．e9．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知函数()fx是定义域为R的偶函数，且(1)fx是奇函数，当01x剟时，有2()1fxx，若函数()(2021)yfxkx的零点个数为5，则实数k取值范围是（）A．1521kB．1631kC．31242k或612kD．33162k或61233k10．（2021·山东济南市·高三其他模拟）（多选题）若函数f(x)＝4,22021()(3),2xmxxmxmx…恰有两个零点，则正整数m的取值可能为（）A．1B．2C．15D．1611．（2021·上海市七宝中学高三一模）对核污染水的处理是当今全球环境治理的热点问题之一，某环保企业准备研发一款设备用于处理核污染水中的放射性碘，研发启动时投入资金为A(A为常数)元，之后每年会投入一笔研发资金，n年后总投入资金记为()fn.经计算发现当010n时，()fn近似地满足9()nAfnpqa，其中232a，p，q为常数，(0)fA.已知3年后总投入资金为研发启动时投入资金的3倍.问（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第几年的投入资金的最多.12．（2021·山东济南市·高三一模）已知函数2(1),01,02xaxexfxxaxx.（1）若2a，求fx的最小值；（2）若fx恰好有三个零点，求实数a的取值范围.1．（2020·全国高考真题（理））若242log42logabab，则（）A．2abB．2abC．2abD．2ab2．（2010·浙江高考真题（理））设函数()4sin(21)fxxx，则在下列区间中函数()fx不存在零点的是A．4,2B．2,0C．0,2D．2,43．（2019·全国高考真题（文））函数()2sinsin2fxxx在0,2的零点个数为A．2B．3C．4D．54．（2020·全国高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名5．（2019·浙江高考真题）已知,abR，函数32,0()11(1),032xxfxxaxaxx，若函数()yfxaxb恰有三个零点，则A．1,0abB．1,0abC．1,0abD．1,0ab6．（2021·北京高考真题）已知函数()lg2fxxkx，给出下列四个结论：①若0k，则()fx有两个零点；②0k，使得()fx有一个零点；③0k，使得()fx有三个零点；④0k，使得()fx有三个零点．以上正确结论得序号是_______．7．（2019·江苏高考真题）设(),()fxgx是定义在R上的两个周期函数，()fx的周期为4，()gx的周期为2，且()fx是奇函数.当2(]0,x时，2()1(1)fxx，(2),01()1,122k