【新高考复习】专题10 解三角形经典必刷小题100题(解析版)

专题10解三角形经典必刷小题100题任务一:善良模式(基础)1-40题一、单选题1．在ABC中，已知32ACBC，且3A，则C（）A．4B．512C．3D．712【答案】B【分析】由正弦定理得4B，再由内角和可得角C.【详解】由正弦定理及32ACBC，可得sin2sin3BACABC，因为3A，所以22sinsin23BA，又ACBC，所以3BA，所以4B，所以53412C.故选：B．2．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若222tan3acbBac，则角B的大小为（）A．π6B．π3或2π3C．π3D．π6或5π6【答案】B【分析】利用余弦定理边化角，进而利用同角三角函数的关系得到sinB的值，即得角B的值.【详解】2223tan22acbBac，即3costan2BB，∴3sin2B，又∵0B，∴Bπ3或2π3.故选：B.3．在ABC中，已知tantanababAB，则ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形【答案】B【分析】先通过“边化角”，再通过辅助角公式，即可求出答案.【详解】解：由正弦定理得sinsinsinsin=coscostantanABABABAB，整理得：sincos=sincosAABB即2sin=2sin44AB，又因为,0,AB,所以3444A，3444B，,所以=44AB，移项得：=2AB,所以三角形一定为直角三角形.故选：B4．已知ABC三边a､b､c上的高分别为12､22､1，则cosA（）A．32B．22C．24D．34【答案】C【分析】设ABC面积为S，分别将三角形的边用S表示，利用余弦定理得出cosA．【详解】设ABC面积为S，4aS，22bS，2cS，则222(22)(2)(4)2cos42222SSSASS，故选：C.5．满足条件a=4，b=52，A=45°的△ABC的个数是（）A．1B．2C．无数个D．不存在【答案】D【分析】由正弦定理求出角B值的个数.从而得出结论【详解】由正弦定理知5sinsinsin4abBAB无解，即不存在这样的三角形【点睛】由正弦定理求出角B值的个数.很多时候还需要结合“大边对大角”特点.属于中档题6．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos:cos:cos6:3:2ABCabc，则cosC等于（）A．33B．13C．223D．1010【答案】D【分析】结合已知条件和正弦定理可得6tan3tan2tanABC，即1tantan3AC，2tantan3BC，再根据tantanCAB和两角和的正切公式，以及三角形内角之间的关系，即可求出tanC，再根据同角关系即可求出cosC.【详解】由632coscoscosabcABC，利用正弦定理得6sin3sin2sincoscoscosABCABC，即6tan3tan2tanABC，所以1tantan3AC，2tantan3BC.代入tantantantan1tantanABCABAB，解得tan3C，又tanA，tanB，tanC同号，所以tan3C，所以10cos10C.故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，同时考查了三角恒等变换以及同角的基本关系，属于基础题.7．在四边形ABCD中，2DB，且1AD，3CD，3cos3B，则边AC的长（）A．3B．4C．22D．23【答案】D【分析】利用二倍角的余弦公式求出cosD，然后利用余弦定理可求得边AC的长.【详解】2DB，2231coscos22cos12133DBB，由余弦定理得2222212cos13213123ACADCDADCDD，因此，23AC.故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形的边长，同时也考查了二倍角余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8．已知ABC中内角,,ABC所对应的边依次为,,abc，若2=1,7,3abcC，则ABC的面积为（）A．332B．3C．33D．23【答案】A【分析】由余弦定理可得227abab，结合2=1ab可得a，b，再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理，得2272cosababC22abab，由22721ababab，解得23ab，所以，11333sin232222ABCSabC.故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.9．在ABC中，1sin3B，BC边上的高为AD，D为垂足，且BD＝2CD，则cos∠BAC＝（）A．33B．33C．1010D．1010【答案】A【分析】直接利用三角函数的定义和余弦定理求出结果．【详解】依题意设,CDxADy，则2,3BDxBCx．因为1sin3B，所以3sinADAByB．因为BC边上的高为AD，如图所示所以22222249ABADBDyxy，即2xy．所以22223ACADCDxyy．根据余弦定理得2222222293963cos2323363ABACBCyyxyBACABACyyy．故选：A．【点睛】本题考查了解三角形的问题，关键是掌握余弦定理，属于基础题．10．ABC中，已知sinsinsinbcACacAC，设D是BC边的中点，且ABC的面积为3，则ABDADB等于()A．2B．4C．-4D．-2【答案】A【分析】根据正、余弦定理求出A；根据三角形面积公式求出bc；再根据D是BC边的中点，将DA，DB用AB和AC表示，再根据数量积的定义，即可求出结果．【详解】∵sinsinsinbcACacAC，∴sinsinsinbcBacAC，∴bcbacac，即222bcabc，∴2221cos22bcaAbc，又角A是ABC的内角，∴23A，又1sin32ABCbcSA，即13322bc，∴4bc；又D是BC边的中点∴11=()22ABDADBABABACCB111()()cos42222ABABACABACABACbcA.故选：A．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了平面向量基本定理和数量积运算，属中档题．11．已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且22cos2Bacc，则ABC是（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】利用倍角公式化简边角关系式，再利用正弦定理把关系式转化为角的关系式，化简后可得cos0C，从而可得正确选项．【详解】因为22cos2Bacc，故cos1acBc即coscBa，由正弦定理可得sincossinCBA，故sincossinsincoscossinCBBCBCBC，整理得到sincos0BC.因为0,B，故sin0B，从而cos0C，而0,C，故2C.故ABC为直角三角形.故选：A．【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.化简中注意三角变换公式的合理使用．12．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若acosB﹣bcosA＝c，则A＝（）A．3B．2C．23D．56【答案】B【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解A.【详解】∵acosB﹣bcosA＝c，由正弦定理可得，sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC，所以sinAcosB﹣sinBcosA＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA，所以sinBcosA＝0，因为sinB≠0，所以cosA＝0，即A12，故选:B【点睛】本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式及边化角的技巧，属于基础题.13．已知ABC中，BC边上的中线3AD，4BC，60BAC，则ABC的周长为（）A．464B．434C．524D．2134【答案】A【分析】在ABD和ADC中，由余弦定理，化简可得2226ABAC；在ABC中，由余弦定理可知10ABAC，由此可得46ABAC，由此即可求出ABC的周长.【详解】在ABD和ADC中，由余弦定理，可知2222cos1312cosABADBDADBDADBADB，2222cos1312cosACADCDADCDADCADC，∴2226ABAC，在ABC中，由余弦定理可知，2222cos2616BCABACABACBACABAC，∴10ABAC，∴222()2262046ABACABACABAC，所以ABC的周长为464ABACBC.故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中等题.14．在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若2a，3c，且满足2coscosacBbC，则ABBC的值为（）A．2B．3C．1D．3【答案】D【分析】利用正弦定理将边化为角，即可求出角B，结合向量的数量积即可求解.【详解】2coscosacBbC根据正弦定理得：sinsin)cossincos,2ACBBC（即：sincossincoscossin2ABBCBC,sincossin()sin,2ABBCA又10,sin0,cos2AAB，10,,coscos233.332BBABBCABBCBac故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式及平面向量的数量积，考查边化角的技巧，属于基础题.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=45，cosC=513，a=1，则b=（）A．1213B．1321C．1213D．2113【答案】D【分析】由45cos,cos513AC解出312sin,sin513AC,即可求出sinB,由正弦定理即可求得结果.【详解】解:45cos,cos513AC，且,AC为三角形的内角，312sin,sin513AC，63sinsin[()]sin()sincoscossin65BACACACAC，又sinsinabAB，sin21sin13aBbA.故选:D.【点睛】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.16．在ABC中，3A，3BC，AB6，则C（）A．3B．23C．4D．34【答案】C【分析】由正弦定理可求得2sin2C,由ABBC＜可知3CA＜,即可得出4C.【详解】由正弦定理得6332,3sin2,sinsin22sin3CCC，4C，或34，因为ABBC＜,所以3CA