【新高考复习】专题11 三角恒等与解三角形综合必刷大题100题(解析版)

专题11三角恒等与解三角形综合必刷大题100题任务一:善良模式(基础)1-40题1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，13b．（1）若3sin4sinCA，求c的值；（2）求ac的最大值．【答案】（1）4c；（2）213．【分析】（1）利用等差数列以及三角形内角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，结合三角函数的最值求解即可．【详解】（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．又ABC＋＋＝，∴3B＝．由正弦定理，得34ca＝，即34ca＝．由余弦定理，得2222cosbacacB，即22331132442cccc，解得4c．（2）由正弦定理，得13213sinsinsin332acbACB，∴213sin3aA，213sin3cC．∴213213sinsinsinsin33acACAAB213π21333πsinsinsincos213sin322633AAAAA．由203A，得5666A．所以当ππ=62A时，即=3A时，max213ac．2．已知函数3sin22sincos6fxxxx．（1）求fx的最小正周期；（2）当,44x时，求fx的值域．【答案】（1）T；（2）11,2．【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦公式以及辅助角公式，可化简sin23πfxx，再利用正弦型函数的周期公式，即得解；（2）由44x，可得52636x，结合正弦函数的图象和性质，即得解【详解】（1）由题意，31133sin2cos2sin2sin2cos2sin222223fxxxxxxx，2||Tw（2）∵44x∴52636x∴11sin232x∴fx的值域为11,23．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且22223sin3bbcAca.（1）求角A；（2）若23a，2tantantanabcABC，求ABC的面积.【答案】（1）3；（2）33.【分析】（1）由题意及余弦定理得3cossin3AA，由此即可求出结果；（2）由正切公式对2tantantanabcABC化简，再结合正弦定理得coscos2cos1BCA，再根据23BC，可得2coscos13BB，可得3BC，由此即可求出结果.【详解】（1）由题意及余弦定理得222232cossin3bcabcAbcA，所以3cossin3AA，从而tan3A，因为(0,)A，所以3A.（2）由2tantantanabcABC，得2coscoscossinsinsinaAbBcCABC，所以由正弦定理得coscos2cos1BCA又因为23BC，所以2coscos13BB，13cos+sin122BB，所以sin16B又0,B，所以3B，所以3C.从而ABC是等边三角形.因为23a，所以1sin332ABCSabC.4．在ABC中，120BAC，21sin7ABC，D是CA延长线上一点，且24ADAC.（1）求sinACB的值；（2）求BD的长.【答案】（1）2114（2）13【分析】（1）首先利用同角三角函数的基本关系求出27cos7ABC，根据三角形的内角和性质可得sinsin180120ACBABC，利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求解.（2）在ABC中，利用正弦定理求出AB，在ABD△中，利用余弦定理即可求解.【详解】解：（1）由21sin7ABC，得22127cos177ABC，所以sinsin180120ACBABCsin60ABCsin60coscos60sinABCABC32712121272714.（2）由正弦定理，得sinsinABACACBABC，即212sin141sin217ACACBABABC.由余弦定理，得222cosBDABADABADBAD22114214132.5．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2222sinsinsinbcaBAbcC．（1）求角C的值；（2）若4ab，当边c取最小值时，求ABC的面积．【答案】（1）π3C；（2）3ABCS．【分析】（1）根据正弦定理，将角化为边的表达形式；结合余弦定理即可求得角C的值．（2）由余弦定理求得2c与ab的关系，结合不等式即可求得c的最小值，即可得到ab的值，进而求得三角形面积．【详解】（1）由条件和正弦定理可得2222bcabab，整理得222bacab从而由余弦定理得1cos2C．又∵C是三角形的内角，∴π3C．（2）由余弦定理得222222coscababCabab，∵4ab，∴22223163cababababab，∴2216316342abcab（当且仅当2ab时等号成立）．∴c的最小值为2，故1sin32ABCSabC．6．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2coscbbA.（1）若26a，3b，求c；（2）若角2C，求角B.【答案】（1）5c；（2）6B.【分析】(1)利用余弦定理222cos2bcaAbc代入化简，并代入a和b的值，计算可得c；(2)利用正弦定理边化角,结合sin1C,解出关于sinB的方程，利用B的范围求出B的值．【详解】（1）由余弦定理得222cos2bcaAbc，∴22222222bcabcacbbbcc，即22abbc，代入数值得22(26)33c，解得5c；（2）∵2coscbbA，∴由正弦定理得sinsin2sincosCBBA，由2C可得2AB，sin1C，∴21sin2sinBB，即(2sin1)(sin1)0BB，解得1sin2B或sin1B(舍去)，又∵02B，∴6B.7．已知△ABC中，C为钝角，而且8AB，3BC，AB边上的高为332.（1）求BÐ的大小；（2）求cos3cosACAB的值.【答案】（1）π3；（2）8.【分析】（1）利用三角形ABC的面积相等，求出BÐ的大小；（2）由余弦定理得出AC，以及cosA，可得cos3cosACAB的值．【详解】（1）由三角形面积可知1318338sin222B，3sin2B，又因为BÐ是锐角，所以π3B.（2）由（1）可知2222cos6492449ACABBCABBCB，所以7AC.又因为2226449913cos228714ABACBCAABAC，因此113cos3cos378214ACAB.8．在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sin22cos0aBbBC．（1）若sin2aAb，求sinB；（2）若11a，2sinsinBC，求ABC的面积．【答案】（1）49；（2）22.【分析】（1）由sin22cos0aBbBC及正弦定理可得tan22A，进一步可得1cos3A，22sin3A，又sin2aAb，由正弦定理得21sinsin2BA，代入sinA即可得到答案；（2）由余弦定理，得2222cos11bcbcAa，由2sinsinBC，可得2bc，代入可得23b，再利用面积公式1sin2SbcA计算即可得到答案.【详解】由已知得sin22cosaBbA，根据正弦定理得sinsin22sincosABBA，∵(0,),B∴sin0B，∴tan22A．（1）因为tan220A，所以(0,)2A，2222cos11cossincos1tan3AAAAA，所以222sin1cos3AA，∵sin2aAb，∴23ba，即sin2sin3BA，∴24sinsin39BA．（2）∵11a，1cos3A，由余弦定理，得2222cos11bcbcAa，∵2sinsinBC，∴2bc，∴211113b，即23b，∵22sin3A，∴ABC的面积21sinsin222SbcAbA．9．在ABC中，三内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，coscos2cos0bCcBA，且1a.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若ABC的面积是332，求ABC的周长.【答案】（Ⅰ）23A（Ⅱ）3214【分析】（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化可得sincossincos2sincos0BCCBAA，再由两角和的正弦公式以及三角形的内角和性质即可求解.（Ⅱ）利用三角形的面积公式可得1sin2ABCSbcA，解得18bc，再根据余弦定理可得2221()bcbcbcbc，从而可得324bc，进而求出ABC的周长.【详解】（Ⅰ）将12sinRA，2sinbRB，2sincRC，代入coscos2cos0bCcBA中，得到sincossincos2sincos0BCCBAA，即sin()2sincosBCAA.因为BCA，所以sin()sin0BCA，于是1cos2A，23A.（Ⅱ）因为1sin2ABCSbcA，所以312sin3223bc，18bc.由余弦定理2222cosabcbcA得，2221()bcbcbcbc，即22211()8bcbcbc，所以324bc.于是ABC的周长是3214bca.10．已知函数cossin3cosfxxxxxR.（1）求fx的最小正周期和单调增区间；（2）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc.若322Bf，6b，求ABC的面积的取值范围.【答案】（1）T，单调递增区间是5,1212kk，kZ.（2）0,93ABCS△【分析】（1）由二倍角公式可得3()sin232fxx，结合正弦函数的性质可得fx的周期以及单调递增区间；（2）由322Bf可得3B，所以43sinsinsinacbACB，1sin123sinsin2ABCSacBAC△，结合23AC，进一步可得63sin2336ABCSA，即可得到答案.【详解】（1）211cos2cossin3cossin2322xfxxxxx1333sin2cos2sin222232xxx∴fx的周期T，由222,232kxkkZ，得5,1212kxkkZ所以fx的单调递增区间是5,1212kk，kZ.（2）∵33sin2322BfB，即sin03B，又(0,)B，∴3B，由正弦定理有643sinsinsinsin3acbACB∴11sin43sin43sinsin123