【新高考复习】专题12 平面向量综合必刷100题(解析版)

专题12平面向量综合必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知0m，向量(,),(2,)amnbm，若||||abab，则实数n（）A．2B．2C．-2D．2【答案】D【分析】由||||abab，可得0ab，用坐标表示数量积，即得解【详解】由||||abab可得22()()abab2222220aabbaabbab20abmmn，因为0m，所以2n.故选：D2．设ABC中BC边上的中线为AD，点O满足2AODO，则OC（）A．1233ABACB．2133ABACC．1233ABACD．2133ABAC【答案】A【分析】由中线向量公式得到12ADABAC；由2AODO，利用线型运算得到23AOAD，进而利用向量的减法运算OCACAO得到结论.【详解】因为ABC中BC边上的中线为AD，所以12ADABAC，因为2AODO，所以2AOOD，所以2OAOAAD，所以2211()()3323AOADABACABAC，所以OCACAOAC21113333ABACABAC．故选：A.3．若平面向量,,abc两两的夹角相等，且||||1,||3abc，则||abc（）A．2B．5C．2或5D．2或5【答案】C【分析】分类讨论，再由向量求模公式，即可求解.【详解】当,,abc两两的夹角均为0°时，显然||5abc；当,,abc两两的夹角均为120°时，222||2222abcabcabacbc，故选：C.4．在菱形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若2AB，3DAB，则DMAN（）A．0B．32C．4D．132【答案】B【分析】以,ABaADb为基底表示有关向量，然后利用数量积的运算和定义求解.【详解】设,ABaADb,则π222cos23abab，.22||33222242bbaaDMANDCCMADDNabab，故选：B.5．如图，点C在半径为2的AB上运动，3AOB若OCmOAnOB，则mn的最大值为（）A．1B．2C．233D．3【答案】C【分析】建立适当的坐标系，设AOC，利用向量的坐标运算得到m,n与α的关系，进而得到m+n关于α的三角函数表达式，利用辅助角公式整理后，根据三角函数的性质求得其最大值.【详解】以O为原点､OA的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，则有(2,0)OA，(1,3)OB.设AOC，则(2cos,2sin)OC.由题意可知22cos32sinmnn所以323cossinsin333mn.因为0,3，所以2,333，故mn的最大值为233.6．已知向量,ab满足||1,||2,1abab，则ab与b夹角为（）A．23B．34C．2D．4【答案】B【分析】先求得abrr，再利用向量夹角公式，结合向量数量积的运算计算即可得到答案.【详解】22221221abaabb，∴abrr=1，2121abbabb所以12cos,212abbabbabb，故向量ab与b的夹角为34.故选：B.7．已知1,2a，1,3br，，则2ab在ab方向上的投影为（）A．1B．5C．102D．5【答案】A【分析】由,ab的坐标求出2abab和ab，进而利用投影的定义求解即可．【详解】∵1,2a，1,3br，则23,1abrr，0,5ab∴25ababrrrr，5ab，∴2ab在ab方向上的投影为：21abababrrrrrr.故选：A.8．在ABC中，23ABAC，，且3ABACuuuruuur，则ACABR（）取最小值时的值为（）A．34B．34C．32D．34【答案】B【分析】对ACAB平方，利用平面向量的数量积公式和已知条件，可知22327=444ACAB，根据二次函数的性质，即可求出结果.【详解】因为222222327=+2469444ACABACABABAC所以当34时，ACABR（）取最小值.故选：B.9．在ABC中，点D是线段BC上靠近点C的三等分点，点E在线段AD上，:3:5AEED，则EBEC（）A．1324ABACB．3142ABACC．1243ABACD．3342ABAC【答案】B【分析】根据平面向量的三角形法则可得,EBABAEECACAE，进而2EBECABACAE，再根据:3:5AEED和点D是线段BC上靠近点C的三等分点，利共线定理可得38AEAD，13CDCB，再结合平面向量的三角形法则，即可求出结果.【详解】根据题意，作出图形，如图所示．因为,EBABAEECACAE所以2EBECABAEACAEABACAE又:3:5AEED，所以38AEAD所以33314444EBECABACADABACACCDABCDAC又点D是线段BC上靠近点C的三等分点，所以13CDCB，所以31111314344442EBECABCBACABACABACABAC．故选:B.10．已知点(2,4)M，若过点(4,0)N的直线l交圆于C：22(6)9xy于A，B两点，则||MAMB的最大值为（）A．12B．82C．10D．62【答案】A【分析】设出AB的中点(,)Pxy，根据垂径定理即可求出点P的轨迹方程是以(5,0)为圆心，1为半径的圆，再利用圆的性质求出||MP的最大值，再由向量的运算性质即可求解．【详解】由已知圆的方程可得：圆心(6,0)C，半径为3r，设AB的中点为(,)Pxy，则由圆的性质可得：NPCP，即0NPCP，而(4,)NPxy，(6,)CPxy，所以2(4)(6)0xxy，即点P的轨迹方程为22(5)1xy，设E为NC的中点，则(5,0)E，半径为1，所以||MP的最大值为221(25)41516ME，又2MAMBMP，所以||MAMB的最大值为12，故选：A11．以下四个命题中正确的是（）A．若1123OPOAOB，则PAB，，三点共线B．若abc，，为空间的一个基底，则abbcca，，构成空间的另一个基底C．()abcabcD．ABC为直角三角形的充要条件是0ABAC【答案】B【分析】对于A,P，A，B三点共线时，(1)OPOAOB，故A不正确；对于B，,,abbcca不共线，所以{,,}abbcca构成空间的另一个基底，故B正确；对于C，()abc表示与c共线的向量，abc表示与a共线的向量，故C不正确；对于D，·0ABAC时，A为直角，反之也可以是BÐ，C为直角，故D不正确.【详解】对于A：P，A，B三点共线时，(1)OPOAOB，1123OPOAOB，P，A，B三点共线不成立，故A不正确；对于B：若{,,}abc为空间的一个基底，则,,abc不共线，,,abbcca不共线，{,,}abbcca构成空间的另一个基底，故B正确；对于C：假设()abcabc，不妨设(),abmbcn，则mcna，因为向量,ac不一定共线，故C不正确；对于D，·0ABAC时，A为直角，故ABC为直角三角形，反之也可以是BÐ，C为直角，故D不正确.故选：B.12．已知向量a、b满足abb，且2a，则b在a方向上的投影是（）A．2B．2C．1D．1【答案】D【分析】在等式abb两边同时平方，求出ab的值，进而可得出b在a方向上的投影为abarrr.【详解】2a，在等式abb两边平方并化简得220aab，222aab，因此，b在a方向上的投影为1aba.故选：D.13．在△ABC中，已知AB=3，AC=5，△ABC的外接圆圆心为O，则AOBCA．4B．8C．10D．16【答案】B【分析】画出图形，并将O和AC中点D，O和AB中点E连接，从而得到ODAC，OEAB，根据数量积的计算公式以及条件即可得出252AOAC，92AOAB，从而AOBCAOACAB，从而可得到AOBC的值.【详解】如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则ODAC，OEAB，212522AOACAC，21922AOABAB，259822AOBCAOACABAOACAOAB.故选：B14．已知向量a与向量b不共线，1,1br，对任意tR，恒有2atbab，则（）A．abB．2aabC．2babD．22abab【答案】C【分析】设向量a的坐标为,xy，代入题中向量等式，解出x,y之间的关系式，再逐项验证答案.【详解】设,axy，则,22,2atbxtytabxy，2atbab可化简为222222xtytxy根据题意，2222,22tRxtytxy恒成立即，2,240tRtxytxy恒成立24240xyxy，解得4xy·,?1,140abxyxy，选项A错误；22·2,?2,220aabxyxyxyxy，选项B错误；·21,1?2,240babxyxy，选项C正确；222?22,2?2,280ababxyxyxy，选项D错误.故选：C.15．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E在线段OB上且13OEOB，若AEABAD（，R），则（）A．13B．13C．1D．23【答案】A【分析】以,ABAD为基底表示出AE，求得23，13，从而确定正确答案.【详解】因为四边形ABCD为矩形，13OEOB，所以2233DEDBABAD，所以221333AEADDEADABADABAD，因为AEABAD（，R），所以23，13，所以211333．故选：A二、多选题16．已知平面向量OA、OB、OC为三个单位向量，且0OAOB，若OCxOAyOB（,xyR），则xy的取值可能为（）A．22B．1C．2D．3【答案】ABC【分析】建立如图坐标系，以向量OA、OB作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点Ccos,sin（表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量OC，02，，求出OA、OB、OC的坐标，列出等式，结合两角和的正弦公式和正弦函数的值域即可得出结果.【详解】依题意，OA、OB是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量OA、OB作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点Ccossin，（表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量OC，02，，因为10OA，，01OB，，cossinOC，，OCxOAyOB，所以cossinxy，，故cossin