【新高考复习】专题20 立体几何综合大题必刷100题(解析版)

专题20立体几何综合大题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题1．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E为线段11AB的中点，F为线段AB的中点.（1）求点B到直线1AC的距离；（2）求直线FC到平面1AEC的距离.【答案】（1）63；（2）66.【分析】（1）以1D为原点，11111DADCDD，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取aAB，11ACuAC，根据空间向量点到直线距离公式，可得点点B到直线1AC的距离；（2）易证//FC平面1AEC，则点F到平面1AEC的距离为直线FC到平面1AEC的距离，求出平面1AEC的一个法向量，再求出(0)1,,02AF，根据点到面的距离公式，可得直线FC到平面1AEC的距离．【详解】以1D为原点，11111DADCDD，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1111,0,11,1101,10)10101,,12()()()2(ABCCEF,,,，,,,,,,,，所以(0,1,0)AB，1(1,1,1)AC，)10,,12(AE，11111,,01,,0,,02)2(),(),2(0ECFCAF.（1）取(0,1,0)aAB，1131,1,13ACuAC，则231,3aau.所以，点B到直线1AC的距离为2216133aau.（2）因为111,,02FCEC，所以1//FCEC，所以//FC平面1AEC.所以点F到平面1AEC的距离为直线FC到平面1AEC的距离.设平面1AEC的法向量为(,,)nxyz，则100nAEnEC所以102102yzxy所以2xzyz取1z，则1,2xy.所以，(1,2,1)n是平面1AEC的一个法向量.又因为(0)1,,02AF，所以点F到平面1AEC的距离为1,,0,2,1626(0(6)1)AFnn.即直线FC到平面1AEC的距离为66.2．如图，正方形11ABBA的边长为2，11,ABAB的中点分别为C，1C，正方形11ABBA沿着1CC折起形成三棱柱111ABCABC，三棱柱111ABCABC中，1,ACBCADAA.（1）证明:当12时，求证：1DC平面BCD；（2）当14时，求二面角1DBCC的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）32929【分析】（1）要证明线面垂直，转化为证明线线垂直，关键证明1DCDC，1BCDC；（2）以点C为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面1DBC和平面1BCC的法向量，利用法向量公式求二面角1DBCC的余弦值.【详解】（1）当12时，点D是1AA的中点，因为1111ACADADAC，所以12DCDC，又12CC，所以22211DCDCCC，所以1DCDC，因为BCAC，1BCCC，所以BC平面11ACCA，1DC平面11ACCA所以1BCDC，且DCBCCI，所以1DC平面BCD；（2）因为1CC，CA，CB两两互相垂直，所以以点C为原点，以CA，CB，1CC作为,,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系，如下图，CA平面1BCC，所以向量1,0,0CA是平面1BCC的法向量，0,1,0B，10,0,2C，11,0,2D，131,0,2DC，11,1,2DB，设平面1DBC的法向量,,nxyzr，所以100DCnDBn，即302102xzxyz，令2z，3x，4y，所以平面1DBC的一个法向量3,4,2n，2223329cos,29342CAnCAnCAn，所以二面角1DBCC的余弦值是329293．如图，直三棱柱111ABCABC的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱1AA的长为5.（1）求三棱柱111ABCABC的体积；（2）设M是BC中点，求直线1AM与平面ABC所成角的正切值.【答案】（1）20；（2）5.【分析】（1）根据棱柱的体积公式进行求解即可；（2）根据线面角的定义，结合锐角三角函数定义进行求解即可.【详解】（1）直三棱柱111ABCABC的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱1AA的长为5.三棱柱111ABCABC的体积：1112ABCVSAAABACAA1425202.（2）连接AM，直三棱柱111ABCABC的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱1AA的长为5，M是BC中点，1AA底面ABC，11164522AMBC，1AMA是直线1AM与平面ABC所成角，115tan55AAAMAAM，直线1AM与平面ABC所成角的正切值为5.4．如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，90.BAC点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，4PAAC，2AB.（1）求证：//MN平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值；（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为77，求线段AH的长.【答案】（1）证明见解析；（2）10521；（3）4【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合面面平行的判定定理和性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，M为AD中点，//MFBD，BDQ平面BDE，MF平面BDE，//MF平面BDE.NQ为BC中点，//NFAC，又D、E分别为AP、PC的中点，//DEAC，则//NFDE.DE平面BDE，NF平面BDE，//NF平面BDE.又MFNFF，MF平面MFN，NF平面MFN，平面//MFN平面BDE，又MN平面MFN，则//MN平面BDE；（2）PA底面ABC，90BAC.以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.4PAAC，2AB，(0,A0，0)，(2,B0，0)，(0,C4，0)，(0,M0，1)，(1,N2，0)，(0,E2，2)，则1,2,1MN，0,2,1ME，设平面MEN的一个法向量为,,mxyz，由00mMNmME，得20,20xyzyz取2z，得4,1,2m.由图可得平面CME的一个法向量为1,0,0nr.4421cos,21211mmnmnn.由图可知二面角CEMN的平面角为锐角，二面角CEMN的余弦值为42121，则正弦值为10521；（3）设AHt，则(0,H0，)t，1,2,NHt，2,2,2BE.直线NH与直线BE所成角的余弦值为77，cos,NHBENHBENHBE22277523tt.解得：4t.当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为77，此时线段AH的长为4.5．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO，OA、OB是底面半径，且90AOB，M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与OB所成的角的余弦值.【答案】（1）833；（2）26.【分析】（1）利用圆锥的体积公式进行求解即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，圆锥的体积22221124233Vrh833；（2）4PO，OA，OB是底面半径，且90AOB，M为线段AB的中点，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，(0,P0，4)，(2,A0，0)，(0,B2，0)，(1,M1，0)，(0,O0，0)，(1,PM1，4)，(0,OB2，0)，设异面直线PM与OB所成的角为，则22cos6182PMOBPMOB.异面直线PM与OB所成的角的余弦值为26.6．如图所示，已知四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，三角形PAB为正三角形，侧面PAB底面ABCD，M是棱AD的中点．（1）求证：PCBM；（2）求二面角BPMC的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）104．【分析】（1）取AB的中点O，连接OP，并过O点作BC的平行线OE，交CD于E，即可得到OEAB，POAB，从而得到PO底面ABCD，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线垂直；（2）利用空间向量法求出二面角的余弦值，从而求出其正弦值；【详解】解：（1）取AB的中点O，连接OP，并过O点作BC的平行线OE，交CD于E，则OEAB∵三角形PAB为正三角形∴POAB∵平面PAB底面ABCD且平面PAB底面ABCDAB∴PO底面ABCD以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，令2PBAB，则1,0,0B，0,0,3P，1,1,0M，1,2,0C1,2,3PC，2,1,0BM1221300PCBM∴PCBM（2）1,1,3PM，2,1,0CM设平面PMB的一个法向量为,,mxyz则00PMmBMm即3020xyzxy令1x，31,2,3m设平面PMC的一个法向量为,,nabc则00PMnCMn即3020abcab令1a，1,2,3n所以6cos,4mnmnmn，所以22610sin,1cos,144mnmn∴二面角BPMC的正弦值为1047．已知点E，F分别是正方形ABCD的边AD，BC的中点.现将四边形EFCD沿EF折起，使二面角CEFB为直二面角，如图所示.（1）若点G，H分别是AC，BF的中点，求证：//GH平面EFCD；（2）求直线AC与平面ABFE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）66.【分析】（1）要证明线面平行，可转化为证明面面平行；（2）根据面面垂直的性质定理，可知CF平面ABFE，再结合线面角的定义，可得得到直线AC与平面ABFE所成角的正弦值.【详解】证明：（1）连接AF，设点O为AF的中点，连接GO，OH，在ACF中，又因为点G为AC中点，所以//OGCF.同理可证得//OHAB，又因为E，F分别为正方形ABCD的边AD，BC的中点，故//EFAB，所以//OHEF.又因为OHOGO，所以平面//GOH平面EFCD.又因为GH平面GOH，所以//GH平面EFCD.（2）因为ABCD为正方形，E，F分别是AD，BC的中点，所以四边形EFCD为矩形，则CFEF.又因为二面角CEFB为直二面角，平面EFCD平面ABFEEF，CF平面EFCD，所以CF平面ABFE，则AF为直线AC在平面ABFE内的射影，因为CAF为直线AC与平面ABFE所成的角.不妨设正方形边长为a，则2aCFBF，在RtABF中，2222522aaAFABBFa，因为CF平面ABFE，AF平面ABFE，所以CFAF，在RtAFC△中，222256222aaaACAFCF，62sin662aCFCAFACa，即为直线AC与平面ABFE所成角的正弦值.8．已知如图1所示，等腰ABC中，4ABAC