【新高考复习】专题22 二项式定理必刷小题100题(解析版)

专题22二项式定理必刷小题100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．831xx的展开式中的常数项为（）A．8B．28C．56D．70【答案】B【分析】先得出831xx的展开式的通项公式，从而得出常数项.【详解】831xx的展开式的通项公式为488313881rrrrrrTxxCCx令4803r，得6r所以831xx的展开式中的常数项为6828C故选：B2．在522xx的二项展开式中，1x的系数为（）A．40B．20C．-40D．-20【答案】A【分析】由二项式得到展开式通项，进而确定1x的系数.【详解】522xx的展开式的通项5253155(2)(2)rrrrrrrrTCxxCx，令531r，解得2r=，故1x的系数为225(2)40C，故选：A.3．26xyxyy的展开式中25xy的系数为（）A．12B．16C．20D．24【答案】B【分析】利用乘法运算律进行展开可得22666xxyxyxyyxyyy，再分别求25xy得系数即可得解.【详解】因为22666xxyxyxyyxyyy，所以25xy的系数为6xy展开式中6y，24xy的系数之和，由于616CrrrrTxy，（0,1,2,,6r），对于26xxyy项，6xy需取6y，系数为66C，对于6yxy项，6xy需取24xy，系数为46C，所以25xy的系数为6466CC16，故选：B．4．对任意实数x，有923901239231111xaaxaxaxax.则下列结论不成立的是（）A．2144aB．01aC．01291aaaaD．9012393aaaaa【答案】B【分析】令1tx，23901239921faatatatattt，利用展开式通项可判断A选项的正误，利用赋值法可判断BCD选项的正误.【详解】令1tx，则1xt，令23901239921faatatatattt.对于A选项，921t的展开式通项为9991992121rrrrrrrrTCtCt，令92r，可得7r，则7722921144aC，A对；对于B选项，90011af，B错；对于C选项，901291211aaaaf，C对；对于D选项，3990129133aaaaaf，D对.故选：B.5．已知0a，62axx的二展开式中，常数项等于60，则a（）A．3B．2C．6D．4【答案】B【分析】先写出展开式的通项，然后令x的指数部分为零，求解出r的值，则常数项可求.【详解】展开式的通项为6631662rrrrrrraTCxaCxx，令630r，所以2r=，所以常数项为22660aC，所以24,0aa，所以2a，故选：B.6．在234567(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxxx的展开式中，3x的系数为（）A．70B．35C．35D．70【答案】D【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出3x的系数.【详解】对于(1)nx的展开式中，通项为：1(1)rrrrnTCx，则334(3)nTCxn，所以3x的系数为：3333334567=70CCCCC.故选：D7．若n为正奇数，则1122777nnnnnnnCCC被9除所得余数是（）A．0B．3C．-1D．8【答案】D【分析】112217777(71)(91)nnnnnnnnnnnCCCC利用二项式定理可得结论.【详解】解：因为n是正奇数，则112217777nnnnnnnnnCCCC(71)(91)nn11021129(999(1)91)nnnnnnnnnnnCCCC又n正奇数，倒数第一项09(1)1,nnnC而从第一项到倒数第二项，每项都能被9整除，1122777nnnnnnnCCC被9除所得余数是8.故选：D.8．二项式102xx的展开式中有理项的个数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】根据二项式定理展开：1103022rrrCx，要为有理项，则3102r为整数即可.【详解】由题可得：展开式的通项为310102111002()2rrrrrrrxxTCCx，要为有理项，则1023r为整数，故r可取0,2,4,6,8,10共有6项有理数.故选：B.9．若312nxx的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（）A．10B．8C．6D．4【答案】B【分析】由给定条件求出幂指数n值，再求出展开式的通项即可作答.【详解】在312()nxx的二项展开式中，令1x得所有项的系数和为381n，解得4n，于是得431(2)xx展开式的通项为444431443122,,4rrrrrrrTCxCxrNrx，令4403r，得3r，常数项为3428C.故选：B10．已知正整数n≥7，若1()(1)nxxx的展开式中不含x5的项，则n的值为（）A．7B．8C．9D．10【答案】D【分析】结合二项式的展开式，求出5x的项的系数，根据题意建立方程，解方程即可求出结果.【详解】(1)nx的二项展开式中第k+1项为1(1)kkkknTCx又因为1(1)(1)1()(1)nnnxxxxxxx的展开式不含5x的项所以4446661(1)(1)0nnxCxCxx45650nnCxCx即46nnCC所以10n，故选：D.11．2()nxx展开式中的各二项式系数之和为1024，则4x的系数是（）A．-210B．-960C．960D．210【答案】B【分析】由二项式系数和等于2n，求得n的值，写出通项公式，再按指定项计算可得.【详解】依题意得：21024n，解得10n，于是得102xx展开式的通项为1010210110102C()()(1)2,,10rrrrrrrrTxCxxrNr，由2104r，解得7r，从而有7107710(1)2960C，所以4x的系数是-960.故选：B12．已知522211xxa的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（）A．10B．7C．9D．10【答案】C【分析】根据522211xxa的展开式中各项系数之和为0，令1x可得参数a，再根据通项公式可求解.【详解】522211xxa的展开式中各项系数之和为0.令1x得5310a，解得1a.5522221211211axxxx.则5211x展开式的通项公式为：52101552111rrrrrrrTCCxx则5522221211211axxxx展开式的常数满足：则4r或=5r，则该展开式的常数项是45455521+1=9CC.故选：C.13．已知5133ab(a，b为有理数)，则a＝（）A．0B．2C．66D．76【答案】D【分析】根据二项式定理将513展开，根据a，b为有理数对应相等求得a的值.【详解】因为501234501234555555513333333CCCCCC，所以51315330303459376443，因为5133ab，且a，b为有理数，所以a＝76，故选：D14．(x2+2ax-a)5的展开式中各项的系数和为1024，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】赋值1x即可.【详解】赋值法：令x=1可知道展开式中各项系数和为(a+1)5=1024，所以a=3.故选：C15．4234012341xaaxaxaxax，则01234aaaaa（）A．5B．3C．0D．3【答案】C【分析】根据展开式，利用赋值法取1x求值即可.【详解】令1x，401234110aaaaa.故选：C16．5()(3)xyxy的展开式中33xy的系数为（）A．-80B．-180C．180D．80【答案】C【分析】先求得5(3)xy展开式的通项公式，分别令2k和3k，计算整理，即可得答案.【详解】5(3)xy展开式的通项公式为：5551553()3(1)kkkkkkkkkTCxyCxy，令2k，得23232353(1)TCxy，令3k，得32323453(1)TCxy，所以原式展开中含33xy的系数为232323553(1)13(1)1180CC故选：C.17．53yxxy的展开式中1xy的系数为（）A．15B．-15C．10D．-10【答案】D【分析】根据二项展开式通项公式5435523155C1CrrrrrrrryxTxyxy，解方程451,3521,rr即可得解.【详解】5435523155C1CrrrrrrrryxTxyxy，令451,3521,rr解得3r，所以展开式中1xy的系数为3351C10．故选：D．18．在多项式4121xx的展开式中，含2x项的系数为（）A．32B．32C．16D．16【答案】C【分析】求出4(21)x中x和2x的系数，然后由多项式乘法法则计算可得．【详解】44(21)(12)xx，展开式通项为14(2)rrrTCx，所求2x的系数为122442216CC．故选：C．二、多选题19．已知二项式61axx，则下列说法正确的是（）A．若2a，则展开式的常数为60B．展开式中有理项的个数为3C．若展开式中各项系数之和为64，则3aD．展开式中二项式系数最大为第4项【答案】AD【分析】写出二项式展开式的通项公式，对4个选项进行分析【详解】A选项：当2a时，1366622166122rrrrrrrrTCxxCx，其中r为整数，且06r，令3602r，解得：4r，此时662156014rrrC，故常数项为60；A正确；B选项：13666221661rrrrrrrrTCaxxCax，其中r为整数，且06r，当0r时，3662r，当2r=时，3632r，，当4r时，3602r，，当6r时，3632r，满足有理项要求，故有4项，故B错误；C选项：令61axx中的1x得：6164a，所以3a或1a，故C错误；D选项：展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，所以展开式中二项式系数最大为第4项，D正确故选：AD20．已知35nxx的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（）A．2，n，10成