【新高考复习】专题24 圆锥曲线的离心率及范围必刷100题(解析版)

专题24圆锥曲线的离心率及范围必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知双曲线2222:10,0xyCabab，直线l过双曲线的右焦点且斜率为ab，直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于M、N两点（M点在x轴的上方），且2OMON，则双曲线C的离心率为（）A．2B．233C．2D．3【答案】B【分析】根据题设易知ONMN，结合已知条件可得渐近线斜率tan30ba，进而可求双曲线C的离心率.【详解】如下图所示：由题意可知，直线l与渐近线byxa垂直，则ONMN，又2OMON，则30OMN，故60MON，则30MOF，则3tan303ba，所以，该双曲线的离心率为22222313cabbeaaa.故选：B.2．已知圆C：22430xyx与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线D的一条渐近线相切，则双曲线D的离心率为（）A．43或4B．233或2C．233D．2【答案】B【分析】分双曲线的焦点在x轴上和y轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径求解.【详解】圆C：2221xy的圆心为2,0，半径为1，当双曲线的焦点在x轴上时，其渐近线方程为0bxay，由题意得2221bba，即223ba，所以2213ba，所以222313cbeaa，当双曲线的焦点在y轴上时，223ba，则2212cbeaa，故选：B3．已知F为双曲线2222:1xyCab（a＞0，b＞0）的左焦点，A点为双曲线的右顶点，B（0，-b），P为双曲线左支上的动点，若四边形FBAP为平行四边形，则双曲线的离心率为（）A．43B．21C．231D．83【答案】B【分析】从平行四边形出发，可以得到FPBA，从而得到P点坐标，代入双曲线方程即可求解离心率.【详解】由题意得：,0Aa，,0Fc，设00(,)Pxy，因为四边形FBAP为平行四边形，所以FPBA，即00,,xcyab可得：0xac，0yb，故(,)Pacb，代入双曲线得22()221acea故选：B．4．已知双曲线222102xyaa的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的离心率e为（）A．233B．263C．3D．2【答案】A【分析】根据题意渐近线的斜率为π3tan63，所以该渐近线的方程为33yx，所以22233a，求得6a，利用22cab，求得c即可得解.【详解】∵双曲线222102xyaa的一条渐近线的倾斜角为π6，π3tan63，∴该渐近线的方程为33yx，∴22233a，解得6a或6（舍去），∴2222cab，∴双曲线的离心率为222336cea．故选：A．5．已知1F，2F分别为椭圆2222:1(0)xyCabab的左､右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，若12MFMF，则椭圆的离心率为（）A．423B．423C．13D．31【答案】D【分析】依题意可得1MF，2MF的值，由椭圆的定义可得a，c的关系，即求出离心率的值．【详解】解：依题意可得1212OMFFc．又260MOF2MFc，13MFc，23acc，31cea．故选：D．6．设12,FF为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左､右焦点，过坐标原点O的直线依次与双曲线C的左､右支交于,PQ两点，若2222PQQFOF，则该双曲线的离心率为（）A．233B．13C．23D．323【答案】B【分析】判断四边形12QFPF为矩形，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，结合离心率公式，计算可得所求值．【详解】解：设双曲线的半焦距为c，可得22||||||||OPOQQFOFc，即有四边形12QFPF为矩形，由双曲线的定义可得1||2QFac，在直角三角形12FQF中，2221212||||||FFQFQF，即有2224(2)cacc，可得23acc，即21331cea故选：B．7．已知双曲线E：222210,0xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，点M在E的右支上，直线1FM与E的左支交于点N，若1FNb，且2MFMN，则E的离心率为（）A．2B．3C．21D．5【答案】D【分析】由条件结合双曲线的定义可得1211MFMFMFMNFN，即2ba，从而可得双曲线的离心率.【详解】由双曲线的定义可得122MFMFa，∵2MFMN，∴12112aMFMFMFMNFNb，即2ba，则E的离心率为222245cabaaeaaa．故选：D．8．已知椭圆2222:10xyCabab的左､右焦点分别是1F，2F，直线ykx与椭圆C交于A，B两点，113AFBF，且1260FAF，则椭圆C的离心率是（）A．716B．74C．916D．34【答案】B【分析】根据椭圆的对称性可知，21AFBF，设2AFm，由113AFBF以及椭圆定义可得132aAF，22aAF，在12AFF△中再根据余弦定理即可得到22744ac，从而可求出椭圆C的离心率．【详解】由椭圆的对称性，得21AFBF.设2AFm，则13AFm.由椭圆的定义，知122AFAFa，即32mma，解得2am，故132aAF，22aAF.在12AFF△中，由余弦定理，得122212121222cosFFAFAFAFAFAFF，即2222931742442224aaaaac，则222716cea，故74e.故选：B.9．椭圆22221(0)xyabab的上､下顶点分别为12,BB，右顶点为A，右焦点为F，12BFBA，则椭圆的离心率为（）A．12B．22C．512D．512【答案】C【分析】求出椭圆的焦点坐标，顶点坐标，利用垂直关系列出方程，转化求解即可.【详解】解：椭圆22221(0)xyabab的上､下顶点分别为12(0,),(0,)BbBb，右顶点为A(a，0)，右焦点为F(c，0)，12BFBA，可得bbca=﹣1，22acac=1，解得e=512.故选：C.10．已知圆C：2216480xyy与双曲线E：222210,0yxabab的渐近线相切，则E的离心率为（）A．2B．469C．233D．2【答案】C【分析】根据题意可得圆心到渐近线的距离为半径，可解得12bc，即可求出离心率.【详解】由2216480xyy得22284xy，所以圆心0,8C，半径4r，双曲线E：222210,0yxabab的一条渐近线为0axby，由题意得圆心到渐近线的距离22884bbdcab，所以12bc，所以2232acbc，所以233cea.故答案为：233.11．已知双曲线22221xyab（0a，0b）的右焦点为F，过F作双曲线两渐近线的垂线垂足分别为点A，B（A，B分别在一、四象限），若2ABFA，则该双曲线的离心率为（）A．2B．23C．4D．43【答案】C【分析】由已知可得1cos4FAC，即1cos4AOF，可得tan15bAOFa，即可求得离心率.【详解】由题，根据双曲线的对称性，可得ABx轴，设AB与x轴交于C，1124ACABFA，1cos4FAC，FA为渐近线垂线，则AOFFAC，1cos4AOF，则可解得tan15AOF，即15ba，故离心率214cbeaa.故选：C.12．已知A，B，C是椭圆2222Γ:1(0)xyabab上不同的三点，且原点O是△ABC的重心，若点C的坐标为3,22ab，直线AB的斜率为33，则椭圆Γ的离心率为（）A．13B．223C．23D．73【答案】B【分析】根据椭圆的第三定义22OCABbkka，可求得,ab的关系，进而求得离心率；【详解】设AB的中点D，因为原点O是△ABC的重心，所以,,COD三点共线，所以ODOCkk，由于222231333OCABbbbbkkaaaa，所以223e，故选：B.13．若双曲线222210,0xyabab的实轴的两个端点与抛物线24xby的焦点是一个等边三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（）A．233B．3C．2D．23【答案】C【分析】根据已知条件可得出222aba，由此可求得双曲线的离心率.【详解】双曲线222210,0xyabab的实轴端点为,0a，抛物线24xby的焦点坐标为0,b，由题意可得222aba，即2ca，因此，该双曲线的离心率为2cea.故选：C.14．已知双曲线2222:10,0xyCabab的焦距为2c，A是C的右顶点，在C的一条渐近线上存在M，N两点，使得AMANc，且120MAN，则双曲线C的离心率为（）A．2B．3C．2D．5【答案】A【分析】求得点,0Aa到渐近线的距离，由余弦值即可求得,,abc关系，则离心率可求．【详解】设渐近线方程为byxa，则点,0Aa到渐近线的距离abdc，又120MAN，AMANc，则1cos602abcc，即有2222abcab，所以ab，2e.故选：A15．已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab的右焦点为F，左顶点为A，过点F的直线l垂直于E的一条渐近线，垂足为M，直线l与y轴交于点N，且//ANOM，则E的离心率为（）A．312B．512C．31D．51【答案】B【分析】取一条渐近线，得直线l的方程，求得N点坐标后，然后利用ANOMkk得出,,abc的等式，变形后可求得离心率．【详解】不妨取渐近线:blyxa，则直线l的方程为()ayxcb，令0x，得到点N的坐标为0,acb，由//ANOM，得ANbka，即有0acbbaa，所以2bac，则22caac，解得512cea.故选：B．16．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线被圆2240xyx截得的线段长为165，则双曲线C的离心率为（）A．43B．53C．32D．54【答案】D【分析】把圆方程化为标准方程，得圆心坐标和半径，求出圆心到渐近线的距离，由勾股定理可得,bc关系，从而求得离心率．【详解】一条渐近线方程为0bxay，圆的标准方程为22(2)4xy，圆心是(2,0)，半径是2，圆心到渐近线的距离为2222bbdcba，所以2222825bc，22925bc，即222925cac，所以54cea．故选：D．17．已知椭圆：221(918)9xybb.则椭圆的离心率的取值范围为（）A．2,2B．2,12C．20,2D．2,12【答案】C【分析】由椭圆方程以及b的范围分析椭圆的长轴和短轴，再由离心率公式计算出范围.【详解】解：椭圆方程为：221(918)9xybb，则椭圆的长半轴长为3,32b，又短半轴长为3，则离心率为9991bbebbb，91,12b，则20,2e.故选：C.18．已知椭圆22211xya与双曲线22221xya有相同的焦点1F、2F，设椭圆与双曲线的离心率分别为1e、2e，则（）A．121eeB．22211eeC．222212122eeeeD．212ee【答案】C【分析】