专题25圆锥曲线压轴小题必刷100题一、单选题1.已知圆C是以点2,23M和点6,23N为直径的圆,点P为圆C上的动点,若点2,0A,点1,1B,则2PAPB的最大值为()A.26B.42C.852D.2【答案】A【分析】由题设可知圆C:22(4)16xy,在坐标系中找到(4,0)D,应用三角线相似将2PA转化到||PD,再利用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.【详解】由题设,知:(4,0)C且22||(2323)(62)8MN,即圆C的半径为4,∴圆C:22(4)16xy,如上图,坐标系中(4,0)D则24ODACCPOC,∴12ACPCCPDC,即△APC△PCD,故12PAPD,∴2||||PAPBPDPB,在△PBD中||||||PDPBBD,∴要使||||PDPB最大,,,PBD共线且最大值为||BD的长度.∴2||(14)126BD.故选:A2.已知点1F,2F分别为椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点,点M在直线:lxa上运动,若12FMF的最大值为60,则椭圆C的离心率是()A.13B.12C.32D.33【答案】C【分析】设直线1MF,2MF的倾斜角分别为,,,Mat0t,且12FMF,利用差角正切公式、基本不等式求12max(tan)FMF关于椭圆参数的表达式,结合已知求椭圆参数的数量关系,进而求离心率.【详解】由题意知,1,0Fc,2,0Fc,直线l为xa,设直线1MF,2MF的倾斜角分别为,,由椭圆的对称性,不妨设M为第二象限的点,即,Mat,0t,则tantca,tantca.12FMF,122222222tantan2222tantan1tantan212ttctcccccacaFMFtbtbbbbttcatt,当且仅当2btt,即tb时取等号,又12tanFMF得最大值为tan603cb,3cb,即2223cca,整理得32ca,故椭圆C的的离心率是32.故选:C.3.过x轴上点,0Pa的直线与抛物线28yx交于A,B两点,若2211APBP为定值,则实数a的值为().A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】设出直线AB的方程与抛物线方程联立,根据两点间距离公式,结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】设直线AB的方程为xmya,代入28yx,得2880ymya,设11,Axy,22,Bxy,则128yym,128yya.2222222111111APxaymyymy,同理,22221BPmy,∴21212222222221212211111111yyyymyymyyAPBP2222222224()64284416441114ammamamaamam,∵2211APBP为定值是与m无关的常数,∴144aa,故选:D.4.已知椭圆C:22221(0)xyabab的两个顶点在直线220xy上,1F,2F分别是椭圆的左、右焦点,点P是椭圆上异于长轴两个端点的任一点,过点P作椭圆C的切线l与直线2x交于点M,设直线1PF,2MF的斜率分别为1k,2k,则12kk的值为()A.-13B.13C.-12D.-14【答案】A【分析】根据题意求出2a,1b,进而写出椭圆的方程,设点P的切线方程为ykxm,与椭圆联立,由0得到2221mk,然后依次表示出相关点的坐标,利用斜率公式表示出12,kk,进而化简整理即可求出结果.【详解】∵椭圆C的两顶点在直线220xy上,∴2a,1b,∴椭圆C的方程为2212xy,∴11,0F,21,0F,设点P的切线方程为ykxm,00,Pxy,联立2212ykxmxy,消去y得222214220kxkmxm,∵直线l与椭圆C相切,∴0,即222(4)421220kmkm,∴2221mk,02221kmxk,∴202022121kmmykxmkmkk,∴点222,2121kmmPkk,又2221mk,∴21,kPmm,∴1101221mkmkmk,设点12,My,又M在切线ykxm上,∴2,2Mmk,∴2202213mkkmk,∴12121233kmkkmk,故选:A.5.已知F是椭圆2221(1)xyaa的左焦点,A是该椭圆的右顶点,过点F的直线l(不与x轴重合)与该椭圆相交于点M,N.记MAN,设该椭圆的离心率为e,下列结论正确的是()A.当01e时,2B.当202e时,2C.当1222e时,23D.当212e时,34【答案】A【分析】设M在x轴上方,N在x轴下方,设直线AM的倾斜角为,直线AN的倾斜角为,联立直线AM的方程与椭圆方程可求M的坐标,同理可求N的坐标,利用,,MFN三点共线可得12211ekkae,利用离心率的范围可得121kk,从而可判断为锐角.【详解】不失一般性,设M在x轴上方,N在x轴下方,设直线AM的斜率为1k,倾斜角为,直线AN的斜率为2k,倾斜角为,则210,0kk,,2,0,2,且0,.又2121tantantantan1+tantan1kkkk.又直线AM的方程为1ykxa,由12222ykxaxaya可得22232422111(1)20akxakxaka,故42212211Makaxaak,所以3212211Makaxak,故122121Makyak,同理3222221Nakaxak,故222221Nakyak,因为,,MFN共线,故21222221323221222221221111akakakakakaakaccakak,整理得到21212210aackkkkcakk即122cakkaac,若01e,122211caekkaacae,因为1211,011eee,21a,故121kk,所以2121tan01kkkk,故2.故选:A.6.已知过抛物线24yx的焦点F的直线与抛物线交于点A、B,若A、B两点在准线上的射影分别为M、N,线段MN的中点为C,则下列叙述不正确的是()A.ACBCB.四边形AMCF的面积等于ACMFC.AFBFAFBFD.直线AC与抛物线相切【答案】B【分析】对于选项AB,利用向量知识研究AC与BC、AC与MF的位置关系即可;对于选项C,可利用抛物线的定义确定AF、BF的长度,然后判断等号是否成立;对于选项D,求出直线AC的斜率,并设抛物线在点A处的切线方程为2114yyykx,与抛物线的方程联立,由0求出k,进而可判断出D选项的正误.【详解】如图,由题意可得1,0F,抛物线的准线方程为1x.设211,4yAy、222,4yBy,设直线AB的方程为1xty,联立214xtyyx,可得2440yty,利用根与系数的关系得124yy,因为线段MN的中点为C,所以121,2yyC,所以21121,42yyyCA,22211,42yyyCB,所以,2222121212121111210444162yyyyyyyyCACB,所以,ACBC,A选项正确;对于B选项,因为11,My,所以12,MFy,所以2112112220222yyyyyyCAMF,所以ACMF,所以四边形AMCF的面积等于12ACBF,B选项错误;对于C选项,根据抛物线的定义知2114yAFAM,2214yBFBN,所以221224yyAFBF,22222222121212121112441644yyyyyyyyAFBF,所以,AFBFAFBF,C选项正确;对于D选项,直线AC的斜率为12111212221111422224414ACyyyyyyykyyyy,抛物线24yx在点A处的切线方程为2114yyykx,联立211244yyykxyx,消去x可得2211440kyyyky,由题意可得211016440kkyky,可得12ky,即12ky,则ACkk.所以,直线AC与抛物线24yx相切,D选项正确.故选:B.7.如图,已知双曲线222210xybaab的左、右焦点分别为1F,2F,过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A,若12AFF△的内切圆半径为4b,则双曲线的离心率为()A.53B.54C.43D.32【答案】A【分析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)Fc,2(,0)Fc,设双曲线的一条渐近线方程为byxa,可得直线2AF的方程为()byxca,联立双曲线的方程可得点A的坐标,设1||AFm,2||AFn,运用三角形的等面积法,以及双曲线的定义,结合锐角三角函数的定义,化简变形可得关于a,c的方程,结合离心率公式可得所求值.【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)Fc,2(,0)Fc,设双曲线的一条渐近线方程为byxa,可得直线2AF的方程为()byxca,与双曲线22221(0)xybaab联立,可得22(2caAc,22())2bacac,设1||AFm,2||AFn,由三角形的等面积法可得2211()(2)22422bbcamnccac,化简可得2442cmnaca,①由双曲线的定义可得2mna,②在三角形12AFF中22()sin2bcanac,(为直线2AF的倾斜角),由tanba,22sincos1,可得22sinbbcab,可得222cana,③由①②③化简可得223250caca,即为(35)()0caca,可得35ca,则53cea.故选:A.8.在棱长为2的正四面体ABCD中,点P为ABC所在平面内一动点,且满足433PAPB,则PD的最大值为()A.3B.2103C.393D.2【答案】B【分析】由题意可知,点P在ABC所在平面内的轨迹为椭圆,且该椭圆的焦点为A、B,长轴长为433,然后以线段AB的中点O为坐标原点,直线AB所在直线为x轴,以CO所在直线为y轴建立空间直角坐标系,求出椭圆的方程,利用二次函数的基本性质可求得PD的最大值.【详解】如图所示,在平面ABC内,4323PAPB,所以点P在平面ABC内的轨迹为椭圆,取AB的中点为点O,连接CO,以直线AB为x轴,直线OC为y建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz,则椭圆的半焦距1c,长半轴233a,该椭圆的短半轴为2233bac,所以,椭圆方程为2233104xyz.点D在底面的投影设为点E,则点E为ABC的