【新高考复习】专题27 圆锥曲线点差法必刷100题(解析版)

专题27圆锥曲线点差法必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知双曲线22142xy被直线截得的弦AB，弦的中点为M（4，2），则直线AB的斜率为（）A．1B．52C．62D．2【答案】A【分析】设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，利用点差法计算可得．【详解】解：设交点坐标分别为1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，则128xx，124yy，2211142xy，2222142xy两式相减可得22221212042xxyy，即1212121242xxxxyyyy，所以121212122248144ABxxyykxxyy，即直线AB的斜率为1；故选：A．2．若点1,1P为圆2260xyy的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为（）A．210xyB．210xyC．230xyD．230xy【答案】B【分析】利用点差法求出直线AB的斜率，进而得到方程，注意检验是否符合题意即可.【详解】设1122,,,AxyBxy，则2211160xyy，2222260xyy，两式做差可得2222121212660xxyyyy，即121212121260xxxxyyyyyy，又因为1,1P是AB的中点，则12122,2xxyy，因此1212122260xxyyyy，即1212240xxyy，所以11212AByykxx，因此直线AB的方程为1112yx，即210xy，经检验，符合题意，故弦AB所在直线的方程为210xy.故选：B.3．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，直线l与椭圆C交于A，B两点，直线12yx与直线l的交点恰好为线段AB的中点，则直线l的斜率为（）A．12B．14C．1D．4【答案】C【分析】根据离心率可得2ab，利用点差法即可求解.【详解】由题意可得22212cbeaa，整理可得2ab．设11,Axy，22,Bxy，则2211221xyab，2222221xyab两式相减可得12121212220xxxxyyyyab．因为直线12yx与直线l的交点恰好为线段AB的中点，所以121212yyxx，则直线l的斜率21212212121(2)12yyxxbkxxayy．故选：C4．若直线l与椭圆22162xy交于点A、B，线段AB中点P为（1，2），则直线l的斜率为（）A．16B．16C．6D．－6【答案】B【分析】设A，B分别为1122(,),(,)AxyBxy，代入椭圆方程，相减后利用中点坐标公式可得直线斜率．【详解】设A，B分别为1122(,),(,)AxyBxy，2211162xy，2222162xy，相减得22222121062xxyy，即21212121()062xxxxyyyy，又AB中点是P（1，2），121224xxyy，212124062xxyy，1+203k123k，16k，故选：B．5．过点(2,1)M的直线交抛物线24yx于,AB两点，当点M恰好为AB的中点时，直线AB的方程为（）A．250xyB．210xyC．250xyD．230xy【答案】D【分析】利用点差法求得直线AB的斜率，进而可求出直线AB的方程，注意检验判别式是否大于0.【详解】设1122,,,AxyBxy，所以2211224,4yxyx，两式相减得，1212124yyyyxx，因为点(2,1)M为AB的中点，所以122yy，所以12122yyxx，故直线AB的斜率为2，所以直线AB的方程为122yx，即230xy，联立22304xyyx，所以241690xx，2164490，故斜率为2符合题意，因此直线AB的方程为230xy，故选：D.6．以椭圆22143xy内一点1,1P为中点的弦所在的直线方程是（）A．4370xyB．3470xyC．32(23)0xyD．23(23)0xy【答案】B【分析】首先设直线与椭圆的两个交点11,Axy，22,Bxy，再利用点差法求直线的斜率，最后求解直线方程.【详解】设过点1,1P的直线交椭圆于11,Axy，22,Bxy两点，则22112222143143xyxy，两式相减得12121212043xxxxyyyy，因为122xx，122yy，12xx，两边同时除以12xx得121211043yyxx，得121234yykxx，所以直线方程为3114yx，即3470xy.故选：B7．已知椭圆22221xyab(0ab)的右焦点为F，离心率为32，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点为1,1，则直线l的斜率为（）A．14B．34C．12D．1【答案】A【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.【详解】解：设11,Axy，22,Bxy，则AB的中点坐标为1212,22xxyy，由题意可得122xx，122yy，将A，B的坐标的代入椭圆的方程：22112222222211xyabxyab，作差可得22221212220xxyyab，所以221212221212yyxxbbxxayya，又因为离心率32cea，222cab，所以22234aba，所以2214ba，即直线AB的斜率为14，故选：A.8．已知直线l被双曲线C：24x﹣y2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l的方程（）A．x+4y﹣9=0B．x﹣4y+7=0C．x﹣8y+15=0D．x+8y﹣17=0【答案】C【分析】运用代入法、点差法求出直线l的斜率，最后利用直线的点斜式方程进行求解即可.【详解】解：设P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，∵线段PQ的中点为(1，2)，∴x1+x2=2，y1+y2=4，∵222212121,144xxyy，∴12124xxxx﹣(y1﹣y2)(y1+y2)=0，整理得121218yyxx，即直线l的斜率为18，故直线l的方程为y﹣2=18(x﹣1)，即x﹣8y+15=0，故选：C.9．已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为3,0F，过点F的直线交椭圆于,AB两点，若AB的中点坐标为1,1，则椭圆E的方程为（）A．2214536xyB．2213627xyC．2212718xyD．221189xy【答案】D【分析】设1122(,),(,)AxyBxy，可得122xx，122yy，将,AB两点的坐标分别代入椭圆方程，两式相减可求出ABk=1212yyxx=212212()()bxxayy=22ba，进而可求出,ab的值.【详解】设1122(,),(,)AxyBxy，则122xx，122yy，则22222211222211xyaxyabb，两式相减得：1212121222()()()()0xxxxyyyyab，∴ABk=1212yyxx=22122212()2()2bxxbayya=22ba，又ABk=0131=12，∴22ba12，联立22222312cbacab，得22189ab.∴椭圆方程为221189xy.故选：D．10．已知椭圆222210xyabab，点F为右焦点，B为上顶点，平行于FB的直线l交椭圆于M，N两点且线段MN的中点为11,24Q，则椭圆的离心率为（）A．22B．12C．14D．32【答案】A【分析】求得直线l的斜率，然后使用点差法进行计算，最后根据离心率的公式计算即可.【详解】设1122,,,MxyNxy，直线l的斜率为k则2211221212121222222222101xyxxxxyyyyababxyab所以2121221212yyyybxxxxa，由线段MN的中点为11,24Q所以121211,2xxyy所以222kba，又bkc，所以222bbca，又222abc所以bc，∴222ace，故选：A.11．在抛物线28yx中，以1,1为中点的弦所在直线的方程是（）A．430xyB．430xyC．430xyD．430xy【答案】C【分析】先设弦的两端点的坐标分别为11,Axy，22,Bxy，代入抛物线方程，两式作差，求出弦所在直线的斜率，进而可求出直线方程.【详解】设以1,1为中点的弦的两端点的坐标分别为11,Axy，22,Bxy，由题意可得，21122288yxyx，两式作差可得，22121288yyxx，所以1212128842AByykxxyy因此所求直线的方程为141yx，整理得430xy.故选：C.12．已知斜率为1k的直线与双曲线222210,0xyabab交于A，B两点，若A，B的中点为1,3M，则双曲线的渐近线方程为（）A．30xyB．30xyC．20xyD．20xy【答案】B【分析】利用点差法，设1122,,,AxyBxy，代入双曲线方程后作差，得12121222120xxyyyyabxx，利用直线的斜率和线段AB的中点坐标求得ba的值.【详解】设1122,,,AxyBxy，22112222222211xyabxyab，两式相减得22221212220xxyyab，即12121212220xxxxyyyyab，两边同时除以12xx得12121222120xxyyyyabxx，由条件可知122xx，126yy，12121yyxx，22260ab，解得：2233bbaa，所以双曲线的渐近线方程是3yx，即30xy.故选：B13．直线:230lxy经过椭圆2222+1(0)xyabab的左焦点F，且与椭圆交于,AB两点，若M为线段AB中点，||||MFOM，则椭圆的标准方程为（）A．22+163xyB．22+185xyC．2214xyD．22+1129xy【答案】C【分析】由已知求得3c，得到M的横坐标为32,进而求得M的纵坐标，然后得出OM的斜率，由22OMlbkka,得到2214ba，即可判定结论.【详解】易得直线l的与x轴的交点横坐标为3,∴椭圆的半焦距3c,又∵||||MFOM，∴M的横坐标为32,代入直线方程得到M的纵坐标为34，∴OM的斜率01201212OMyyykxxx,由于直线l的斜率121212lyykxx,2212121222121212OMlyyyyyykkxxxxxx,2211221xyab,222222 1xyab,∴2221222212yybxxa,∴2214OMlbkka,