【新高考复习】第四节 基本不等式 教案

第四节基本不等式核心素养立意下的命题导向1.结合作差法，了解基本不等式的证明过程，凸显逻辑推理的核心素养．2．结合求函数最值问题，考查灵活运用基本不等式解决问题的能力，凸显数学运算的核心素养．3．结合实际应用问题，考查利用基本不等式求最值问题，凸显数学建模的核心素养．[理清主干知识]1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；2ba＋ab≥2，ab0；3ab≤a＋b22，a，b∈R；4a2＋b22≥a＋b22，a，b∈R当且仅当a＝b时等号成立.3．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24.(简记：和定积最大)[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(求和的最值)已知x0，y0，xy＝16，则x＋y的最小值为()A．32B．24C．42D．8解析：选D由基本不等式得x＋y≥2xy＝8，当且仅当x＝y＝4时等号成立．2．(求积的最值)若x0，y0，且2(x＋y)＝36，则xy的最大值为()A．9B．18C．36D．81解析：选A由2(x＋y)＝36，得x＋y＝18，所以xy≤x＋y2＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．3．(基本不等式成立的条件)若x0，则x＋1x()A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－2解析：选D因为x0，所以－x0，－x＋1－x≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.4．(重要不等式的应用)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．解析：x2＋2y2＝x2＋(2y)2≥2x(2y)＝22，当且仅当x＝2y且xy＝1时等号成立，所以x2＋2y2的最小值为22.答案：22二、易错点练清1．(忽视变量的范围)函数f(x)＝2x＋3x＋1(x0)的最大值为________．解析：∵x0，∴f(x)＝2x＋3x＋1＝－－2x＋3－x＋1≤－2－2x·－3x＋1＝1－26，当且仅当－2x＝－3x，即x＝－62时，等号成立，∴f(x)的最大值为1－26.答案：1－262．(忽视基本不等式等号成立的条件)当x≥2时，x＋4x＋2的最小值为________．解析：设x＋2＝t，则x＋4x＋2＝t＋4t－2.又由x≥2得t≥4，而函数y＝t＋4t－2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t＝4，即x＝2时，t＋4t－2即x＋4x＋2取得最小值，最小值为4＋44－2＝3.答案：3考点一利用基本不等式求最值考法(一)拼凑法求最值[例1](1)已知f(x)＝x2＋3x＋6x＋1(x0)，则f(x)的最小值是()A．2B．3C．4D．5(2)(2020·天津高考)已知a0，b0，且ab＝1，则12a＋12b＋8a＋b的最小值为________．[解析](1)f(x)＝x2＋3x＋6x＋1＝x＋12＋x＋1＋4x＋1＝x＋1＋4x＋1＋1，∵x0，∴x＋11，∴x＋1＋4x＋1＋1≥24＋1＝5，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时取“＝”．∴f(x)的最小值是5，故选D.(2)依题意得12a＋12b＋8a＋b＝a＋b2ab＋8a＋b＝a＋b2＋8a＋b≥2a＋b2×8a＋b＝4，当且仅当a＋b2＝8a＋b，即a＋b＝4时取等号．因此，12a＋12b＋8a＋b的最小值为4.[答案](1)D(2)4[方法技巧]1．拼凑法求最值拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2．拼凑法求解最值应注意的问题(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件．考法(二)常数代换法求最值[例2](1)已知函数y＝loga(x－1)＋2(a0且a≠1)的图象恒过定点A.若直线mx＋ny＝2过点A，其中m，n是正实数，则1m＋2n的最小值是()A．3＋2B．3＋22C.92D．5(2)已知a0，b0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．[解析](1)由y＝loga(x－1)＋2的图象恒过定点A可知A(2,2)．所以2m＋2n＝2，所以m＋n＝1.又因为m0，n0，所以1m＋2n(m＋n)＝3＋nm＋2mn≥3＋2nm·2mn＝3＋22，当且仅当n＝2m时，取等号．(2)因为3a＋b＝2ab，所以32b＋12a＝1，又a0，b0，故a＋b＝(a＋b)32b＋12a＝2＋3a2b＋b2a≥2＋3，当且仅当3a2b＝b2a时取等号，即a＋b的最小值为2＋3.[答案](1)B(2)2＋3[方法技巧]1．常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．2．常数代换法求解最值应注意的问题(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；(3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．考法(三)消元法求最值[例3]已知正实数a，b，c满足a2－ab＋4b2－c＝0，当cab取最小值时，a＋b－c的最大值为()A．2B.34C.38D.14[解析]根据题意得c＝a2－ab＋4b2，所以cab＝a2－ab＋4b2ab＝ab＋4ba－1≥24－1＝3，当且仅当ab＝4ba，即a＝2b时取等号，所以a＋b－c＝2b＋b－4b2＋2b2－4b2＝－6b2＋3b＝－6b－142＋38，所以当b＝14时，a＋b－c取得最大值38，故选C.[答案]C[方法技巧]通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．考法(四)放缩法求最值[例4](1)已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的最小值是________．(2)已知x0，y0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．[解析](1)∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，∴(ab)2－2ab－3≥0，∴(ab－3)(ab＋1)≥0，∴ab－3≥0，∴ab≥3，即ab≥9.∴ab的最小值为9.(2)∵x0，y0，∴9－(x＋3y)＝xy＝13x·(3y)≤13·x＋3y22，当且仅当x＝3y时等号成立．设x＋3y＝t0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.[答案](1)9(2)6[方法技巧]放缩法解不等式求最值的方法将所给代数式，利用基本不等式放大或缩小，构造出所求最值的代数式的结构，然后通过解不等式求出代数式范围，从而求出代数式的最值．考点二基本不等式在实际问题中的应用[典例]如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为6cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为acm，bcm，铝合金窗的透光部分的面积为Scm2.(1)试用a，b表示S；(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？[解](1)∵铝合金窗宽为acm，高为bcm，a0，b0，∴ab＝28800.①设上栏框内高度为hcm，则下栏框内高度为2hcm，则3h＋18＝b，∴h＝b－183，∴透光部分的面积S＝(a－18)×2b－183＋(a－12)×b－183＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288＝28800－2(9a＋8b)＋288＝29088－2(9a＋8b)．(2)∵9a＋8b≥29a·8b＝29×8×28800＝2880，当且仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝98a，代入①式得a＝160，从而b＝180，即当a＝160，b＝180时，S取得最大值．∴铝合金窗的宽为160cm，高为180cm时，可使透光部分的面积最大．[方法技巧]利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型题目的题干往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．[针对训练]经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－km＋1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，即x＝3－2m＋1，每1万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)，∴2021年的利润y＝x1.5×8＋16xx－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋83－2m＋1－m＝28－16m＋1－m(m≥0)．∴利润y表示为年促销费用的函数关系式是y＝28－16m＋1－m(m≥0)．(2)由(1)知y＝－16m＋1＋m＋1＋29(m≥0)．∵当m≥0时，16m＋1＋(m＋1)≥216m＋1·m＋1＝8，当且仅当16m＋1＝m＋1，即m＝3时取等号．∴y≤－8＋29＝21，即当m＝3时，y取得最大值21.∴当该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元．考点三基本不等式的综合应用[典例](1)如图，在△ABC中，CM―→＝2MB―→，过点M的直线分别交射线AB，AC于不同的两点P，Q，若AP―→＝mAB―→，AQ―→＝nAC―→，则mn＋m的最小值为()A．2B．23C．6D．63(2)已知x0，y0，且xy2y＋3x＝1，不等式x2＋y3≥m恒成立，则实数m的取值范围是________．[解析](1)连接AM，由已知可得AM―→＝AB―→＋BM―→＝AB―→＋13BC―→＝AB―→＋13(AC―→－AB―→)＝23AB―→＋13AC―→＝23mAP―→＋13nAQ―→.因为P，M，Q三点共线，所以23m＋13n＝1，所以mn＋m＝2n＋m3＋m＝2n3＋4m3＝2n3＋4m323m＋13n＝109＋4n9m＋4m9n≥109＋24n9m×4m9n＝2，当且仅当4n9m＝4m9n，即m＝n＝1时取等号，所以mn＋m的最小值为2.故选A.(2)不等式x2＋y3≥m恒成立可转化为x2＋y3min≥m.由xy2y＋3x＝1，得2y＋3x＝xy，即2x＋3y＝1.因为x0，y0，所以x2＋y3＝x2＋y32x＋3y＝2y3x＋3x2y＋2≥22y3x·3x2y＋2＝4，当且仅当2y3x＝3x2y，2x＋3y＝1，