【新高考复习】专题32 导数几何意义问题必刷100题(解析版)

专题32导数几何意义问题必刷100题类型一:求在曲线上一点的切线方程1-10题1．已知()cos()fxaxaxaR，则在曲线yfx上一点0,2处的切线方程为（）A．20xyB．20xyC．220xyD．220xy【答案】A【详解】因为点0,2在曲线上，所以0cos02fa，于是1a，所以cos1fxxx，1sinfxx，01f，故切线方程为20yx，即20xy.故选：A2．设函数32()2fxxaxax.若()fx为奇函数，则曲线()yfx在点1,1f处的切线方程为（）A．41yxB．52yxC．42yxD．56yx【答案】B【分析】根据函数()fx的奇偶性，可得a，然后分别求得1,1ff，最后可得直线方程.【详解】由函数32()2fxxaxax为奇函数所以()fxfx由3232()22fxxaxaxxaxax所以3232222xaxaxxaxaxa所以3()2fxxx，则2()32fxx所以(1)3,51ff所以所求切线方程为351yx，即52yx故选：B3．曲线3yaxx在点1,0P处的切线方程是（）A．220xyB．220xyC．220xyD．220xy【答案】D【详解】因为点1,0P在曲线3yaxx上，解得1a，2()31fxx，所以2(1)3112f，所以，曲线3yaxx在点1,0P处的切线方程为02(1)yx.即220xy.故选：D4．已知函数fx是奇函数且其图象在点1,1f处的切线方程21yx，设函数2gxfxx，则gx的图象在点1,1g处的切线方程为（）A．42yxB．46yxC．0yD．2y【答案】A【分析】先求出14g，再求出切点的坐标，即得解.【详解】解：由已知得12f，11f，因为fx是奇函数，所以12f，11f又因为2gxfxx，所以1124gf，1112gf，所以gx的图象在点1,1g处的切线方程为241,42yxyx.故选：A5．曲线2yxx在1x处的切线的倾斜角为，则cos21tan（）A．1B．15C．3D．2【答案】B【分析】先求出2yxx的导函数，进而求出1x时，123y，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出tan3，利用万能公式求出结果.【详解】221yx，当1x时，123y，所以tan3，由万能公式得：222222cossin1tan194cos2cossin1tan195所以cos24111tan545故选：B6．已知函数2ln,0,0xxxxfxgxx为奇函数，则gx在1x处的切线方程为（）A．0xyB．210xyC．210xyD．320xy【答案】D【分析】利用函数fx为奇函数可得2()()ln()gxfxxxx，求导可求解(1)1g，(1)3g，即得解【详解】当0x时，0x，则22()()()ln()ln()fxxxxxxx，此时2()()ln()gxfxxxx，则()2ln()1gxxx，则(1)1g，(1)3g，所求切线方程为13(1)yx，即320xy.故选：D7．已知函数()fx在R上满足2()2(2)88fxfxxx，则曲()yfx在点1,1f处的切线方程是（）A．21yxB．yxC．32yxD．23yx【答案】A【分析】先根据2()2(2)88fxfxxx求出函数()fx的解析式，然后对函数()fx进行求导，进而可得到()yfx在点(1,(1))f处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程.【详解】2()2(2)88fxfxxx，2(2)2()(2)8(2)8fxfxxx.2(2)2()441688fxfxxxx.将(2)fx代入2()2(2)88fxfxxx，得22()4()28888fxfxxxxx，2()fxx，()2fxx，()yfx在(1,(1))f处的切线斜率为2y，函数()yfx在(1,(1))f处的切线方程为12(1)yx，即21yx.故选：A.8．曲线ln()xfxx在点(1,(1))f处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．14B．12C．1D．2【答案】B【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，然后再求切线与两坐标轴围成的三角形的面积.【详解】当1x时，(1)0f，又因为21lnxfxx，所以(1)1f，所以曲线ln()xfxx在点(1,(1))f处的切线方程为01(1)yx，即10xy，因为10xy与两坐标轴的交点坐标为(1,0)和(0,1)，所以此切线与两坐标轴围成的三角形的面积为111122.故选：B.9．若函数2xfxex图象在点00,xfx处的切线方程为ykxb，则kb的最小值为（）A．2B．12eC．1eD．12e【答案】D【分析】求出导函数，表示出切线方程，再求出kb的表达式，最后借助导数即可作答.【详解】由2xfxex求导得：()2xfxe，于是得00()2xfxe，函数()2xfxex图象在点00(,())xfx处的切线方程为0000(2)(2)()xxyexexx，整理得：000(2)(1)xxyexxe，从而得0002,(1)xxkebxe，002xxekb，令()2xgxxe，则()(1)xgxxe，当1x时，()0gx，当1x时，()0gx，于是得()gx在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，则min1()(1)2gxge，所以kb的最小值为12e.故选：D10．已知M是曲线21ln12yxxax上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于4的锐角，则实数a的取值范围是（）A．2,B．4,C．,2D．,4【答案】C【分析】求y，结合已知根据导数的几何意义可得tan14y，即1xax对任意0x恒成立，再利用基本不等式求出min1xx即可.【详解】因为21ln12yxxax，所以11yxax，因为曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于4的锐角，所以tan14y对于任意的0x恒成立，即111xax对任意0x恒成立，所以1xax，又12xx，当且仅当1xx，即1x时，等号成立，故2a，所以a的取值范围是,2.故选：C类型二:求过一点的切线方程1-10题1．函数lnfxx过点0,0的切线方程为（）A．yxB．yxeC．12yxD．1yxe【答案】D【分析】先求导数，再根据导数几何意义求切线斜率，最后根据点斜式得结果.【详解】设切点为11(,ln)xx因为1lnfxxfxx11111ln01ln10xxxexx因此切线方程为1yxe故选：D2．已知函数lnfxxx，若直线l过点0,e，且与曲线yfx相切，则直线l的斜率为（）A．2B．2C．eD．e【答案】B【分析】设切点坐标为,lnttt，利用导数求出切线l的方程，将点0,e的坐标代入直线l的方程，求出t的值，进而可求得直线l的斜率.【详解】设切点坐标为,lnttt，lnfxxx，ln1fxx，直线l的斜率为ln1ftt，所以，直线l的方程为lnln1ytttxt，将点0,e的坐标代入直线l的方程得lnln1etttt，解得te，因此，直线l的斜率为2fe.故选：B.3．己知函数(),(1)xfxex，函数g()(2)xkx，若两函数的图象恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围（）A．1,3eeB．1,eC．1,3eeD．(,]e【答案】A【分析】首先求切线的斜率，再由数形结合，求实数k的取值范围.【详解】由题知exfx，设切点为00,exx，则切线方程为000eexxyxx．将2,0代入可得01x，故2gxkx与exfx（1x）相切时1ek，1,Ae,2,0C，故由两函数的图象有两个不同交点可得1e0e12k，即1ee3k，故选:A．4．已知曲线xye的切线过坐标原点，则此切线的斜率为（）A．eB．eC．1eD．1e【答案】A【分析】设切点为00,xxe，然后求出曲线xye在切点处的切线方程为000xxyeexx，然后把坐标原点0,0代入即可解出答案.【详解】设切点为00,xxe，由xye，得exy，∴00xxxye，则曲线xye在切点处的切线方程为000xxyeexx，把坐标原点0,0代入，可得000xxexe，解得01x，∴所求切线的斜率为1ee.故选：A.5．若过点,ab可以作曲线lnyx的两条切线，则（）A．ebaB．eabC．0ebaD．0eab【答案】C【分析】设切点为00,xy，可得切线为0001lnxbxax，所以00ln1abxx，设ln1agxxx，则yb与ln1agxxx图象有两个交点，讨论0a时由单调性可知不符合题意，当0a时，由导数判断gx的单调性以及最值，数形结合即可求解.【详解】设切点为00,xy，00lnyx由lnyx可得1yx，则切线方程为01ybxax，因为点00,xy在切线上，所以0001lnxbxax，所以00ln1abxx，若过点,ab可以作曲线lnyx的两条切线，则00ln1abxx有两解，设ln1agxxx，可得221axagxxxx，当0a时，20xagxx恒成立，此时ln1agxxx在0,上单调递增，00ln1abxx至多一解，所以0a不符合题意，当0a时，由0gx可得0xa；由0gx可得xa；所以ln1agxxx在0,a上单调递减，在,a上单调递增，所以minlngxgaa，当x趋近于0时，ln1agxxx趋近于；当x趋近于时，ln1agxxx趋近于；所以若yb与ln1agxxx图象有两个交点，可得lnba即0eba，所以若过点,ab可以作曲线lnyx的两条切线，则0eba，故选：C.6．若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1B．y=2x+12C．y=12x+1D．y=12x+12【答案】D【分析】根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设