【新高考复习】专题37 导数证明恒成立问题大题必刷100题(解析版)

专题37导数证明恒成立问题大题必刷100题1．已知函数sineln(1)xxafxx．（1）当2a时，求函数fx在1,0上的最小值；（2）若1fx恒成立，求实数a的值．【答案】（1）1；（2）2.【分析】（1）求出fx的解析式，2cose1xfxxx，当1,0x时，cose2xx，221x，0fx，由fx的单调性即可得最小值；（2）fx定义域为1,，cose1xafxxx，令cose1xahxxx，则2esin(1)xahxxx，分别讨论2a，2a，20a和0a时fx的单调性，结合零点存在性定理以及01f即可求解.（1）当2a时，sine2ln(1)xfxxx，所以2cose1xfxxx，因为1,0x时，cose2xx，221x，所以1,0x时，2()cose01xfxxx，所以fx在1,0上是单调减函数，n0mi0sin0e2ln11fxf，所以fx在1,0上的最小值是1．（2）sineln(1)xxafxx定义域为1,，cose1xafxxx，令cose1xahxxx，则2esin(1)xahxxx，若2a，由（1）知，则min01fxf，1fx在区间(1,)恒成立．若2a，因为1,0x，esin0xx，0,x，esin0xx，20(1)ax，则0hx，所以hx即fx是增函数．当11xa时，1xa，101ax，所以1ecos101afxfx．又因为020fa，所以存在正数1x，使得10fx，当10xx时，10fx，fx是减函数，所以101fxf，不合题意．若20a，因为1,0x，esin0xx，0,x，esin0xx，20(1)ax．则0hx，所以fx是增函数，当1102ax时，21ax，01101afxfx．又020fa，所以存在正数2(1,0)x，使得20fx，当20xx时，10fx，fx是增函数，所以201fxf，不合题意．若0a，因为1,0x，cose0xx，0,x，cose0xx，01ax，则cose01xafxxx，fx是增函数．因为01f，所以当10x时，()(0)1fxf，不合题意．综上所述，实数a的值为2．2．已知函数ee0xfxaxa．（1）讨论fx的单调性：（2）若1fxx对2,x恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）23,e2e【分析】（1）求导得eexfxa，在分0a，0a两种情况讨论求解即可；（2）根据题意将问题转化为1eexxax对2,x恒成立，进而构造函数，求解函数最值即可.（1）解：函数的定义域为R，eexfxa．当0a时，令0fx，得1x，令0fx，得1x；当0a时，令0fx，得1x，令0fx，得1x．综上，当0a时，fx在,1上单调递减，在1,上单调递增；当0a时，fx在,1上单调递增，在1,上单调递减．（2）解：由（1）知，函数eexgxx在2,上单调递增，则2ee20gxg，所以1fxx对2,x恒成立等价于1eexxax对2,x恒成立．设函数12eexxhxxx，则2eeeexxxhxx，设ee2xpxxx，则1e0xpxx，则px在2,上单调递减，所以22e2e0pxp，则0hx，所以hx在2,上单调递减，所以2max32e2ehxh；故23e2ea，即a的取值范围是23,e2e．3．已知函数21lnxfxaexa，0a.（1）若1a，证明：0fx；（2）若0fx恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）1,【分析】（1）由1a，求出函数导数，利用导数求出函数的最小值即可证明；（2）先由0fx可得1a，再利用导数求出函数的最小值，再根据1xex，不等式的性质证明最小值恒大于0即可求解.（1）当1a时，1ln1xfxex，11xfxex，0x，易知yfx在0,单调递增，且10f，所以01x时，()0fx，1x时，()0fx∴fx在0,1单调递减，1,单调递增，∴10fxf.（2）∵0fx，∴10f，∴1a，211xfxaex，0x，易知yfx在0,单调递增，且2110fa，21122121101afaeaa，∴021,11xa，00fx且fx在00,x单调递减，0,x单调递增，∴01200minlnxfxfxaexa，且01201xaex，∴000102011lnxfxxxxe，易证1xex，∴1xex，∴12xex，∴0102011xxxe，∴00102011ln0xxxxe∴.当1a时，0fx，∴实数a的取值范围是1,.4．已知函数xfxeax.（1）求函数fx的单调区间；（2）设函数221122gxfxxa，若0x时，0gx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）22ln2a≤≤【分析】（1）根据a分类讨论，利用导数求出函数的单调区间；（2）化简gx，利用导数求出min01gxga，分类讨论，分别求出mingx，令min0gx求解即可.（1）xfxeax，xfxea.当0a时，0fx，xfxeax在R上单调递增.当0a时，令0xfxea，得lnxa.lnxa时，0fx，fx在,lna上单调递减，lnxa时，0fx，fx在ln,a上单调递增，故当0a时，fx的单调递增区间是R；当0a时，fx的单调递减区间是,lna，单调递增区间是ln,a.（2）222211112222xgxfxxaeaxxa，xgxexa，1xgxe，∵0x，∴10xgxe，gx在0,上单调递增，min01gxga.当10a，即1a时，min10≥gxa，gx在0,上单调递增，则2min10102gxga≥，22a，故12a.当10a，即1a时，min10gxa，00x，0000xgxexa，即00xaex或00xeax，00xx时，0gx，gx在00,x上单调递减，0xx时，0gx，gx在0,x上单调递增，则000002200min11120222xxxxxgxgxexaeeee≥，02xe≤，∴00ln2x.令函数xhxex，且0ln2x，10xhxe，xhxex在0,ln2上单调递增，12ln2hx≤，∵00xaex（0ln2x），∴12ln2a.综上，实数a的取值范围是22ln2a≤≤.5．已知2sinxfxexx，3122sin3gxxxxm．（1）求fx的单调区间；（2）若0x时，fxgx恒成立，求m的取值范围．【答案】（1）在(,0)单调递减，在(0,)单调递增.（2）1m£【分析】(1)先对函数进行求导，再进行分类讨论判断导数值的正负，即可得到答案；(2)将问题转化为31sin3xmexx„在0x…恒成立，令31()sin(0)3xuxexxx…，再利用（1）的结论进行求解，即可得到答案；（1）()2sinxfxexx，()2cosxfxex，①当0x„时，2(2,1],1cos1xex剟，2cos0xex„在0x„恒成立，()0fx„，()fx在(,0)单调递减，②当0x时，令()2cosxgxex，则()sin0xgxex在0x恒成立，()gx在(0,)单调递增，且(0)0g，()0gx在(0,)恒成立，即()0fx在(0,)恒成立，()fx在(0,)单调递增，综上所述：()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增.（2）当0x…时，312sin22sin3xexxxxxm…31sin3xmexx„在0x…恒成立，令31()sin(0)3xuxexxx…，2()cosxxuxex，令2()cos(0)xvxexxx…，由（1）得2sin'01xvxexxv…，()vx在(0,)单调递增，且(0)0v，()0ux…在0x恒成立，()ux在[0,)单调递增，(0)1u，min()(0)1muxu.6．已知曲线3,fxaxbxabR在点1,1f处的切线方程是20y.（1）求fx的解析式；（2）若对任意12,2,3xx，都有12fxfxm„，求实数m的取值范围.【答案】（1）33fxxx（2）20,【分析】（1）求出fx和1f以及1f，利用点斜式求出切线方程再根据多项式相等可得答案；（2）转化为对任意2,3x，都有maxminfxfxm，利用导数求出maxfx、minfx可得答案.（1）1fab，23fxaxb，13fab，所以fx在点1,1f处的切线方程是11yffxx，即31yababx，化简得：32yabxa，又切线方程是20y，故3022aba，1a，3b，所以fx的解析式为33fxxx.（2）因为对任意12,2,3xx，都有12fxfxm，所以对任意2,3x，都有maxminfxfxm，因为233311fxxxx，所以当2,1x时，0fx，则fx是增函数，当1,1x时，0fx，则fx是减函数，当1,3x时，0fx，则fx是增函数，所以maxmax1,318fxff，minmin2,12fxff，所以20m，实数m的取值范围是20,.7．已知函数sinexfxxax.（1）若0a，求函数fx在,